ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень задача для повторения - 43

Построим график функции $y = \sin x |\sin x| - \cos x |\cos x|$. 1. **Область определения и периодичность:** * Функция определена при всех действительных значениях аргумента: $D(y) = \mathbb{R}$. * Так как функции $\sin x$ и $\cos x$ периодические с периодом $T = 2\pi$, то и данная функция является периодической с периодом $T = 2\pi$. Достаточно исследовать её поведение на промежутке длиной $2\pi$, например на $[0; 2\pi]$, а затем периодически продолжить график на всю числовую прямую. 2. **Раскрытие модулей на промежутке $[0; 2\pi]$ по четвертям:** * **I четверть:** $x \in \left[0; \frac{\pi}{2}\right]$ Здесь $\sin x \ge 0$ и $\cos x \ge 0$, поэтому $|\sin x| = \sin x$ и $|\cos x| = \cos x$: $$ y = \sin x \cdot \sin x - \cos x \cdot \cos x = \sin^2 x - \cos^2 x = -\cos 2x $$ При $x = 0$: $y = -\cos 0 = -1$. При $x = \frac{\pi}{4}$: $y = -\cos\frac{\pi}{2} = 0$. При $x = \frac{\pi}{2}$: $y = -\cos \pi = 1$. * **II четверть:** $x \in \left[\frac{\pi}{2}; \pi\right]$ Здесь $\sin x \ge 0$ и $\cos x \le 0$, поэтому $|\sin x| = \sin x$ и $|\cos x| = -\cos x$: $$ y = \sin x \cdot \sin x - \cos x \cdot (-\cos x) = \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $$ На этом отрезке функция принимает постоянное значение $y = 1$. * **III четверть:** $x \in \left[\pi; \frac{3\pi}{2}\right]$ Здесь $\sin x \le 0$ и $\cos x \le 0$, поэтому $|\sin x| = -\sin x$ и $|\cos x| = -\cos x$: $$ y = \sin x \cdot (-\sin x) - \cos x \cdot (-\cos x) = -\sin^2 x + \cos^2 x = \cos 2x $$ При $x = \pi$: $y = \cos 2\pi = 1$. При $x = \frac{5\pi}{4}$: $y = \cos\frac{5\pi}{2} = 0$. При $x = \frac{3\pi}{2}$: $y = \cos 3\pi = -1$. * **IV четверть:** $x \in \left[\frac{3\pi}{2}; 2\pi\right]$ Здесь $\sin x \le 0$ и $\cos x \ge 0$, поэтому $|\sin x| = -\sin x$ и $|\cos x| = \cos x$: $$ y = \sin x \cdot (-\sin x) - \cos x \cdot \cos x = -\sin^2 x - \cos^2 x = -(\sin^2 x + \cos^2 x) = -1 $$ На этом отрезке функция принимает постоянное значение $y = -1$. 3. **Аналитическая запись функции на периоде $[0; 2\pi]$:** $$ y = \begin{cases} -\cos 2x, & \text{если } x \in \left[0; \frac{\pi}{2}\right], \\ 1, & \text{если } x \in \left[\frac{\pi}{2}; \pi\right], \\ \cos 2x, & \text{если } x \in \left[\pi; \frac{3\pi}{2}\right], \\ -1, & \text{если } x \in \left[\frac{3\pi}{2}; 2\pi\right]. \end{cases} $$ 4. **Описание построения графика:** * На отрезках $\left[2\pi k; \frac{\pi}{2} + 2\pi k\right]$, $k \in \mathbb{Z}$, строится часть синусоидальной волны $y = -\cos 2x$, поднимающаяся от точки $(2\pi k; -1)$ до точки $\left(\frac{\pi}{2} + 2\pi k; 1\right)$. * На отрезках $\left[\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \pi + 2\pi k\right]$, $k \in \mathbb{Z}$, строится горизонтальный отрезок прямой $y = 1$. * На отрезках $\left[\pi + 2\pi k; \frac{3\pi}{2} + 2\pi k\right]$, $k \in \mathbb{Z}$, строится часть волны $y = \cos 2x$, опускающаяся от точки $(\pi + 2\pi k; 1)$ до точки $\left(\frac{3\pi}{2} + 2\pi k; -1\right)$. * На отрезках $\left[\frac{3\pi}{2} + 2\pi k; 2\pi + 2\pi k\right]$, $k \in \mathbb{Z}$, строится горизонтальный отрезок прямой $y = -1$. Область значений функции: $E(y) = [-1; 1]$.