ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень задача для повторения - 44

Упростим выражение, задающее функцию, найдем ее область определения и построим (опишем) ее график. Дана функция: $$ y = \cos x \sqrt{\cos^2 x - \sin x \sqrt{\sin^2 x}} $$ ### 1. Преобразование выражения и нахождение области определения Используем свойство арифметического квадратного корня $\sqrt{a^2} = |a|$: $$ \sqrt{\sin^2 x} = |\sin x| $$ Тогда выражение под внешним корнем принимает вид: $$ \cos^2 x - \sin x |\sin x| $$ Функция определена для всех $x$, при которых подкоренное выражение неотрицательно: $$ \cos^2 x - \sin x |\sin x| \ge 0 $$ Раскроем модуль в зависимости от знака $\sin x$: **1) Случай $\sin x < 0$:** Тогда $|\sin x| = -\sin x$, и подкоренное выражение равно: $$ \cos^2 x - \sin x (-\sin x) = \cos^2 x + \sin^2 x = 1 $$ Так как $1 \ge 0$ верно для любых $x$, неравенство выполняется при всех $\sin x < 0$. Сама функция на этих промежутках имеет вид: $$ y = \cos x \cdot \sqrt{1} = \cos x $$ Условие $\sin x < 0$ выполняется на интервалах: $$ x \in (\pi + 2\pi k; \, 2\pi + 2\pi k), \quad k \in \mathbb{Z} $$ **2) Случай $\sin x \ge 0$:** Тогда $|\sin x| = \sin x$, и подкоренное выражение равно: $$ \cos^2 x - \sin x \cdot \sin x = \cos^2 x - \sin^2 x = \cos 2x $$ Условие существования корня: $$ \cos 2x \ge 0 $$ $$ -\frac{\pi}{2} + 2\pi n \le 2x \le \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ $$ -\frac{\pi}{4} + \pi n \le x \le \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ Найдем пересечение условия $\sin x \ge 0$ ($x \in [2\pi k; \, \pi + 2\pi k]$) и $\cos 2x \ge 0$: * при четных $n = 2k$: $x \in \left[ 2\pi k; \, \frac{\pi}{4} + 2\pi k \right]$; * при нечетных $n = 2k + 1$: $x \in \left[ \frac{3\pi}{4} + 2\pi k; \, \pi + 2\pi k \right]$. На этих отрезках функция имеет вид: $$ y = \cos x \sqrt{\cos 2x} $$ На интервалах $\left( \frac{\pi}{4} + 2\pi k; \, \frac{3\pi}{4} + 2\pi k \right)$ подкоренное выражение отрицательно ($\cos 2x < 0$), поэтому функция там не определена. --- ### 2. Итоговое аналитическое задание функции Область определения функции $D(y)$ состоит из промежутков: $$ D(y) = \bigcup_{k \in \mathbb{Z}} \left( \left[ 2\pi k; \, \frac{\pi}{4} + 2\pi k \right] \cup \left[ \frac{3\pi}{4} + 2\pi k; \, 2\pi + 2\pi k \right] \right) $$ (промежуток $[\frac{3\pi}{4} + 2\pi k; \pi + 2\pi k]$ объединяется с интервалом $(\pi + 2\pi k; 2\pi + 2\pi k)$ в полуинтервал $[\frac{3\pi}{4} + 2\pi k; 2\pi + 2\pi k)$ и замыкается правым концом $2\pi + 2\pi k$). Функция является периодической с периодом $T = 2\pi$. В пределах одного периода $[0; 2\pi]$ ее можно записать кусочно: $$ y = \begin{cases} \cos x \sqrt{\cos 2x}, & x \in \left[0; \, \frac{\pi}{4}\right] \cup \left[\frac{3\pi}{4}; \, \pi\right], \\ \cos x, & x \in (\pi; \, 2\pi]. \end{cases} $$ --- ### 3. Описание графика функции На периоде $[0; 2\pi]$: 1. При $x \in \left[ 0; \, \frac{\pi}{4} \right]$ график представляет собой часть кривой $y = \cos x \sqrt{\cos 2x}$, соединяющей точки $(0; 1)$ и $\left(\frac{\pi}{4}; 0\right)$. 2. При $x \in \left( \frac{\pi}{4}; \, \frac{3\pi}{4} \right)$ график отсутствует (функция не определена). 3. При $x \in \left[ \frac{3\pi}{4}; \, \pi \right]$ график представляет собой кривую $y = \cos x \sqrt{\cos 2x}$, соединяющую точки $\left(\frac{3\pi}{4}; 0\right)$ и $(\pi; -1)$. 4. При $x \in [\pi; \, 2\pi]$ график совпадает со стандартной волной косинусоиды $y = \cos x$, соединяющей точки $(\pi; -1)$, $\left(\frac{3\pi}{2}; 0\right)$ и $(2\pi; 1)$. В точке $x = \pi$ графики стыкуются непрерывно, так как $\cos \pi \sqrt{\cos 2\pi} = -1 \cdot 1 = -1$ и $\cos \pi = -1$. Далее график периодически повторяется с периодом $2\pi$. **Ответ:** $$ y = \begin{cases} \cos x \sqrt{\cos 2x}, & \text{если } x \in \left[ 2\pi k; \, \frac{\pi}{4} + 2\pi k \right] \cup \left[ \frac{3\pi}{4} + 2\pi k; \, \pi + 2\pi k \right], \\ \cos x, & \text{если } x \in (\pi + 2\pi k; \, 2\pi + 2\pi k), \quad k \in \mathbb{Z}. \end{cases} $$