ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень задача для повторения - 38

### a) $y = 2 - x - |x - 2| + 2|x|$ Для раскрытия знаков модулей найдём нули подмодульных выражений: $x - 2 = 0 \implies x = 2$; $x = 0$. Числовая прямая разбивается точками $x = 0$ и $x = 2$ на три промежутка. Раскроем модули на каждом из них: 1. При $x < 0$: $|x - 2| = -(x - 2) = 2 - x$, $|x| = -x$. $$ y = 2 - x - (2 - x) + 2(-x) = 2 - x - 2 + x - 2x = -2x $$ 2. При $0 \le x < 2$: $|x - 2| = 2 - x$, $|x| = x$. $$ y = 2 - x - (2 - x) + 2x = 2 - x - 2 + x + 2x = 2x $$ 3. При $x \ge 2$: $|x - 2| = x - 2$, $|x| = x$. $$ y = 2 - x - (x - 2) + 2x = 2 - x - x + 2 + 2x = 4 $$ Таким образом, функция задаётся кусочно: $$ y = \begin{cases} -2x, & \text{если } x < 0, \\ 2x, & \text{если } 0 \le x < 2, \\ 4, & \text{если } x \ge 2. \end{cases} $$ График представляет собой непрерывную ломаную линию: * Луч $y = -2x$, проходящий влево от вершины $(0; 0)$ через точку $(-1; 2)$; * Отрезок прямой $y = 2x$, соединяющий точки $(0; 0)$ и $(2; 4)$; * Горизонтальный луч $y = 4$, идущий вправо от точки $(2; 4)$. --- ### b) $y = 5 + 2x - |x - 2| - |x + 1|$ Найдём нули подмодульных выражений: $x - 2 = 0 \implies x = 2$; $x + 1 = 0 \implies x = -1$. Раскроем модули на трёх промежутках: 1. При $x < -1$: $|x - 2| = -(x - 2) = 2 - x$, $|x + 1| = -(x + 1) = -x - 1$. $$ y = 5 + 2x - (2 - x) - (-x - 1) = 5 + 2x - 2 + x + x + 1 = 4x + 4 $$ 2. При $-1 \le x < 2$: $|x - 2| = 2 - x$, $|x + 1| = x + 1$. $$ y = 5 + 2x - (2 - x) - (x + 1) = 5 + 2x - 2 + x - x - 1 = 2x + 2 $$ 3. При $x \ge 2$: $|x - 2| = x - 2$, $|x + 1| = x + 1$. $$ y = 5 + 2x - (x - 2) - (x + 1) = 5 + 2x - x + 2 - x - 1 = 6 $$ Кусочно-заданный вид функции: $$ y = \begin{cases} 4x + 4, & \text{если } x < -1, \\ 2x + 2, & \text{если } -1 \le x < 2, \\ 6, & \text{если } x \ge 2. \end{cases} $$ График представляет собой непрерывную ломаную линию: * Луч $y = 4x + 4$, идущий влево от точки $(-1; 0)$ через точку $(-2; -4)$; * Отрезок прямой $y = 2x + 2$, соединяющий точки $(-1; 0)$ и $(2; 6)$; * Горизонтальный луч $y = 6$, идущий вправо от точки $(2; 6)$. --- ### c) $y = 2 + x - 3|2 - x| + 2|x|$ Так как $|2 - x| = |x - 2|$, нулями подмодульных выражений являются $x = 0$ и $x = 2$. Раскроем модули на трёх промежутках: 1. При $x < 0$: $|2 - x| = 2 - x$, $|x| = -x$. $$ y = 2 + x - 3(2 - x) + 2(-x) = 2 + x - 6 + 3x - 2x = 2x - 4 $$ 2. При $0 \le x < 2$: $|2 - x| = 2 - x$, $|x| = x$. $$ y = 2 + x - 3(2 - x) + 2x = 2 + x - 6 + 3x + 2x = 6x - 4 $$ 3. При $x \ge 2$: $|2 - x| = -(2 - x) = x - 2$, $|x| = x$. $$ y = 2 + x - 3(x - 2) + 2x = 2 + x - 3x + 6 + 2x = 8 $$ Кусочно-заданный вид функции: $$ y = \begin{cases} 2x - 4, & \text{если } x < 0, \\ 6x - 4, & \text{если } 0 \le x < 2, \\ 8, & \text{если } x \ge 2. \end{cases} $$ График представляет собой непрерывную ломаную линию: * Луч $y = 2x - 4$, идущий влево от точки $(0; -4)$ через точку $(-1; -6)$; * Отрезок прямой $y = 6x - 4$, соединяющий точки $(0; -4)$ и $(2; 8)$; * Горизонтальный луч $y = 8$, идущий вправо от точки $(2; 8)$. --- ### d) $y = |x + 2| - 2|x - 1| - x$ Найдём нули подмодульных выражений: $x + 2 = 0 \implies x = -2$; $x - 1 = 0 \implies x = 1$. Раскроем модули на трёх промежутках: 1. При $x < -2$: $|x + 2| = -(x + 2) = -x - 2$, $|x - 1| = -(x - 1) = 1 - x$. $$ y = (-x - 2) - 2(1 - x) - x = -x - 2 - 2 + 2x - x = -4 $$ 2. При $-2 \le x < 1$: $|x + 2| = x + 2$, $|x - 1| = 1 - x$. $$ y = (x + 2) - 2(1 - x) - x = x + 2 - 2 + 2x - x = 2x $$ 3. При $x \ge 1$: $|x + 2| = x + 2$, $|x - 1| = x - 1$. $$ y = (x + 2) - 2(x - 1) - x = x + 2 - 2x + 2 - x = -2x + 4 $$ Кусочно-заданный вид функции: $$ y = \begin{cases} -4, & \text{если } x < -2, \\ 2x, & \text{если } -2 \le x < 1, \\ -2x + 4, & \text{если } x \ge 1. \end{cases} $$ График представляет собой непрерывную ломаную линию: * Горизонтальный луч $y = -4$, идущий влево от точки $(-2; -4)$; * Отрезок прямой $y = 2x$, соединяющий точки $(-2; -4)$ и $(1; 2)$; * Луч $y = -2x + 4$, идущий вправо от точки $(1; 2)$ через точку $(2; 0)$.