ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень задача для повторения - 42

**42.** Воспользуемся свойством арифметического квадратного корня: для любого действительного числа $a$ справедливо равенство $\sqrt{a^2} = |a|$. --- ### а) $y = \sin x - \sqrt{\sin^2 x}$ Применим свойство корня: $$ y = \sin x - |\sin x| $$ Раскроем знак абсолютной величины в зависимости от знака выражения $\sin x$: 1. Если $\sin x \ge 0$, то $|\sin x| = \sin x$. Тогда: $$ y = \sin x - \sin x = 0 $$ Неравенство $\sin x \ge 0$ выполняется при $x \in [2\pi k; \pi + 2\pi k], \; k \in \mathbb{Z}$. 2. Если $\sin x < 0$, то $|\sin x| = -\sin x$. Тогда: $$ y = \sin x - (-\sin x) = \sin x + \sin x = 2\sin x $$ Неравенство $\sin x < 0$ выполняется при $x \in (\pi + 2\pi k; 2\pi + 2\pi k), \; k \in \mathbb{Z}$. Кусочно-заданная форма функции: $$ y = \begin{cases} 0, & \text{если } x \in [2\pi k; \pi + 2\pi k], \; k \in \mathbb{Z}, \\ 2\sin x, & \text{если } x \in (\pi + 2\pi k; 2\pi + 2\pi k), \; k \in \mathbb{Z}. \end{cases} $$ **Описание графика:** * На отрезках $[2\pi k; \pi + 2\pi k]$ график совпадает с осью абсцисс ($y = 0$). * На интервалах $(\pi + 2\pi k; 2\pi + 2\pi k)$ график представляет собой нижние полуволны синусоиды $y = \sin x$, растянутые вдоль оси $Oy$ в $2$ раза (в точках $x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$ функция достигает наименьшего значения $y = -2$). --- ### б) $y = \cos x - \sqrt{\cos^2 x}$ Применим свойство корня: $$ y = \cos x - |\cos x| $$ Раскроем знак абсолютной величины в зависимости от знака выражения $\cos x$: 1. Если $\cos x \ge 0$, то $|\cos x| = \cos x$. Тогда: $$ y = \cos x - \cos x = 0 $$ Неравенство $\cos x \ge 0$ выполняется при $x \in \left[-\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{\pi}{2} + 2\pi k\right], \; k \in \mathbb{Z}$. 2. Если $\cos x < 0$, то $|\cos x| = -\cos x$. Тогда: $$ y = \cos x - (-\cos x) = \cos x + \cos x = 2\cos x $$ Неравенство $\cos x < 0$ выполняется при $x \in \left(\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{3\pi}{2} + 2\pi k\right), \; k \in \mathbb{Z}$. Кусочно-заданная форма функции: $$ y = \begin{cases} 0, & \text{если } x \in \left[-\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{\pi}{2} + 2\pi k\right], \; k \in \mathbb{Z}, \\ 2\cos x, & \text{если } x \in \left(\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{3\pi}{2} + 2\pi k\right), \; k \in \mathbb{Z}. \end{cases} $$ **Описание графика:** * На отрезках $\left[-\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{\pi}{2} + 2\pi k\right]$ график лежит на оси абсцисс ($y = 0$). * На интервалах $\left(\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{3\pi}{2} + 2\pi k\right)$ график представляет собой нижние полуволны косинусоиды $y = \cos x$, растянутые вдоль оси $Oy$ в $2$ раза (в точках $x = \pi + 2\pi k$ функция принимает наименьшее значение $y = -2$).