ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень задача для повторения - 39

**а)** Дана функция: $$ y = \sqrt{(x-3)^2} + \sqrt{(5-x)^2} $$ Используем свойство арифметического квадратного корня $\sqrt{a^2} = |a|$, а также равенство $|5 - x| = |x - 5|$: $$ y = |x - 3| + |5 - x| = |x - 3| + |x - 5| $$ Нули подмодульных выражений разбивают числовую прямую на три промежутка: $x = 3$ и $x = 5$. Раскроем модули на каждом из них: 1. При $x < 3$: оба подмодульных выражения отрицательны: $|x - 3| = -(x - 3) = 3 - x$, $|x - 5| = -(x - 5) = 5 - x$. Тогда: $$ y = (3 - x) + (5 - x) = 8 - 2x $$ 2. При $3 \le x \le 5$: первое выражение неотрицательно, второе неположительно: $|x - 3| = x - 3$, $|x - 5| = -(x - 5) = 5 - x$. Тогда: $$ y = (x - 3) + (5 - x) = 2 $$ 3. При $x > 5$: оба подмодульных выражения положительны: $|x - 3| = x - 3$, $|x - 5| = x - 5$. Тогда: $$ y = (x - 3) + (x - 5) = 2x - 8 $$ Запишем функцию в кусочно-заданном виде: $$ y = \begin{cases} 8 - 2x, & \text{если } x < 3, \\ 2, & \text{если } 3 \le x \le 5, \\ 2x - 8, & \text{если } x > 5 \end{cases} $$ Графиком функции является ломаная линия: - луч с началом в точке $(3; 2)$, направленный влево-вверх (проходит через точку $(2; 4)$); - горизонтальный отрезок, соединяющий точки $(3; 2)$ и $(5; 2)$; - луч с началом в точке $(5; 2)$, направленный вправо-вверх (проходит через точку $(6; 4)$). --- **б)** Дана функция: $$ y = \sqrt{(x-1)^2} + \sqrt{(3-x)^2} $$ Используем свойство $\sqrt{a^2} = |a|$ и равенство $|3 - x| = |x - 3|$: $$ y = |x - 1| + |3 - x| = |x - 1| + |x - 3| $$ Нули подмодульных выражений: $x = 1$ и $x = 3$. Раскроем модули на трех промежутках: 1. При $x < 1$: $|x - 1| = -(x - 1) = 1 - x$, $|x - 3| = -(x - 3) = 3 - x$. Тогда: $$ y = (1 - x) + (3 - x) = 4 - 2x $$ 2. При $1 \le x \le 3$: $|x - 1| = x - 1$, $|x - 3| = -(x - 3) = 3 - x$. Тогда: $$ y = (x - 1) + (3 - x) = 2 $$ 3. При $x > 3$: $|x - 1| = x - 1$, $|x - 3| = x - 3$. Тогда: $$ y = (x - 1) + (x - 3) = 2x - 4 $$ Запишем функцию в кусочно-заданном виде: $$ y = \begin{cases} 4 - 2x, & \text{если } x < 1, \\ 2, & \text{если } 1 \le x \le 3, \\ 2x - 4, & \text{если } x > 3 \end{cases} $$ Графиком функции является ломаная линия: - луч с началом в точке $(1; 2)$, направленный влево-вверх (проходит через точку $(0; 4)$); - горизонтальный отрезок, соединяющий точки $(1; 2)$ и $(3; 2)$; - луч с началом в точке $(3; 2)$, направленный вправо-вверх (проходит через точку $(4; 4)$).