ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень задача для повторения - 40

Используем основное свойство квадратного корня $\sqrt{a^2} = |a|$. Преобразуем исходную функцию: $$ y = |x + 2| + |x - 2| $$ Область определения функции: $D(y) = (-\infty; +\infty)$. Найдем нули выражений, стоящих под знаком модуля: $x + 2 = 0 \implies x = -2$; $x - 2 = 0 \implies x = 2$. Точки $x = -2$ и $x = 2$ разбивают числовую ось на три промежутка. Раскроем модули на каждом из них: 1. При $x < -2$: Оба подмодульных выражения отрицательны ($x + 2 < 0$, $x - 2 < 0$), поэтому: $$ y = -(x + 2) - (x - 2) = -x - 2 - x + 2 = -2x $$ 2. При $-2 \le x \le 2$: Первое подмодульное выражение неотрицательно ($x + 2 \ge 0$), а второе неположительно ($x - 2 \le 0$), поэтому: $$ y = (x + 2) - (x - 2) = x + 2 - x + 2 = 4 $$ 3. При $x > 2$: Оба подмодульных выражения положительны ($x + 2 > 0$, $x - 2 > 0$), поэтому: $$ y = (x + 2) + (x - 2) = x + 2 + x - 2 = 2x $$ Запишем функцию в виде кусочно-заданной: $$ y = \begin{cases} -2x, & \text{если } x < -2, \\ 4, & \text{если } -2 \le x \le 2, \\ 2x, & \text{если } x > 2 \end{cases} $$ Функция является чётной, так как: $$ y(-x) = |-x + 2| + |-x - 2| = |-(x - 2)| + |-(x + 2)| = |x - 2| + |x + 2| = y(x) $$ Её график симметричен относительно оси $Oy$ и представляет собой: - луч прямой $y = -2x$ при $x < -2$ (проходит, например, через точки $(-3; 6)$ и $(-2; 4)$); - горизонтальный отрезок прямой $y = 4$ при $-2 \le x \le 2$ (с концами в точках $(-2; 4)$ и $(2; 4)$); - луч прямой $y = 2x$ при $x > 2$ (выходит из точки $(2; 4)$ и проходит через точку $(3; 6)$). **Ответ:** $$ y = \begin{cases} -2x, & \text{если } x < -2, \\ 4, & \text{если } -2 \le x \le 2, \\ 2x, & \text{если } x > 2 \end{cases} $$