ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень задача для повторения - 37

**37.** **а)** Построим график функции $y = |1 - 2x| + |2x + 3|$. 1. Найдем нули подмодульных выражений (критические точки): $1 - 2x = 0 \implies x = 0{,}5$; $2x + 3 = 0 \implies x = -1{,}5$. 2. Точки $x = -1{,}5$ и $x = 0{,}5$ разбивают числовую прямую на три промежутка. Раскроем модули на каждом из них: - При $x < -1{,}5$: выражение $1 - 2x > 0$, а $2x + 3 < 0$, поэтому $$ y = (1 - 2x) - (2x + 3) = 1 - 2x - 2x - 3 = -4x - 2 $$ - При $-1{,}5 \le x \le 0{,}5$: выражение $1 - 2x \ge 0$, а $2x + 3 \ge 0$, поэтому $$ y = (1 - 2x) + (2x + 3) = 1 - 2x + 2x + 3 = 4 $$ - При $x > 0{,}5$: выражение $1 - 2x < 0$, а $2x + 3 > 0$, поэтому $$ y = -(1 - 2x) + (2x + 3) = -1 + 2x + 2x + 3 = 4x + 2 $$ Таким образом, функция задается кусочно: $$ y = \begin{cases} -4x - 2, & \text{если } x < -1{,}5, \\ 4, & \text{если } -1{,}5 \le x \le 0{,}5, \\ 4x + 2, & \text{если } x > 0{,}5. \end{cases} $$ 3. Описание графика: График функции представляет собой непрерывную ломаную линию: - луч прямой $y = -4x - 2$, выходящий из точки $(-1{,}5; 4)$ влево через точку $(-2; 6)$; - горизонтальный отрезок прямой $y = 4$, соединяющий точки $(-1{,}5; 4)$ и $(0{,}5; 4)$; - луч прямой $y = 4x + 2$, выходящий из точки $(0{,}5; 4)$ вправо через точку $(1; 6)$. --- **б)** Построим график функции $y = |2x - 3| + |1 - x|$. 1. Найдем нули подмодульных выражений: $2x - 3 = 0 \implies x = 1{,}5$; $1 - x = 0 \implies x = 1$. 2. Точки $x = 1$ и $x = 1{,}5$ разбивают числовую прямую на три промежутка. Раскроем модули: - При $x < 1$: выражение $2x - 3 < 0$, а $1 - x > 0$, поэтому $$ y = -(2x - 3) + (1 - x) = -2x + 3 + 1 - x = -3x + 4 $$ - При $1 \le x \le 1{,}5$: выражение $2x - 3 \le 0$, а $1 - x \le 0$, поэтому $$ y = -(2x - 3) - (1 - x) = -2x + 3 - 1 + x = -x + 2 $$ - При $x > 1{,}5$: выражение $2x - 3 > 0$, а $1 - x < 0$, поэтому $$ y = (2x - 3) - (1 - x) = 2x - 3 - 1 + x = 3x - 4 $$ Таким образом, функция задается кусочно: $$ y = \begin{cases} -3x + 4, & \text{если } x < 1, \\ -x + 2, & \text{если } 1 \le x \le 1{,}5, \\ 3x - 4, & \text{если } x > 1{,}5. \end{cases} $$ 3. Описание графика: График функции представляет собой непрерывную ломаную линию: - луч прямой $y = -3x + 4$, выходящий из точки $(1; 1)$ влево через точку $(0; 4)$; - отрезок прямой $y = -x + 2$, соединяющий точки $(1; 1)$ и $(1{,}5; 0{,}5)$; - луч прямой $y = 3x - 4$, выходящий из точки $(1{,}5; 0{,}5)$ вправо через точку $(2; 2)$.