ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 15 - 41

Решим неравенство: $$ x^2 \leqslant 1 \iff -1 \leqslant x \leqslant 1 $$ Таким образом, множеством решений второго неравенства является отрезок $[-1; 1]$. Теперь решим первое неравенство: $$ (p - x)^2(p + x - 2) < 0 $$ Множитель $(p - x)^2$ строго положителен при всех $x \neq p$ и равен нулю при $x = p$. Следовательно, исходное неравенство равносильно системе: $$ \begin{cases} p + x - 2 < 0, \\ p - x \neq 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x < 2 - p, \\ x \neq p \end{cases} $$ Множеством решений первого неравенства является луч $(-\infty; 2 - p)$ без точки $x = p$ (если эта точка принадлежит лучу): $$ S = (-\infty; 2 - p) \setminus \{p\} $$ По условию задачи, множество $S$ не должно содержать ни одного решения неравенства $x^2 \leqslant 1$, то есть пересечение множества $S$ с отрезком $[-1; 1]$ должно быть пустым: $$ S \cap [-1; 1] = \varnothing $$ Рассмотрим взаимное расположение границы луча $x = 2 - p$ и отрезка $[-1; 1]$: 1. Если $2 - p \leqslant -1$, то луч $(-\infty; 2 - p)$ целиком лежит левее точки $-1$. Следовательно, ни одна точка отрезка $[-1; 1]$ не принадлежит множеству $S$. $$ 2 - p \leqslant -1 \iff -p \leqslant -3 \iff p \geqslant 3 $$ 2. Если $2 - p > -1$, то пересечение луча $(-\infty; 2 - p)$ с отрезком $[-1; 1]$ представляет собой непустой промежуток: - при $-1 < 2 - p \leqslant 1$ это полуинтервал $[-1; 2 - p)$; - при $2 - p > 1$ это весь отрезок $[-1; 1]$. Так как исключение единственной точки $x = p$ из невырожденного числового промежутка не может сделать его пустым, пересечение $S \cap [-1; 1]$ при $2 - p > -1$ всегда непусто. Значит, такие значения параметра $p$ не удовлетворяют условию. Таким образом, условие выполняется тогда и только тогда, когда $p \geqslant 3$. Ответ: $p \in [3; +\infty)$.