ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 15 - 44

a) Преобразуем уравнения системы: $$ \begin{cases} x + \sqrt{y - a - 2} = 0 \\ y^2 - x^2 = a(2x + a) \end{cases} $$ Из первого уравнения: $x = -\sqrt{y - a - 2}$, откуда следуют условия: $x \le 0$ и $y - a - 2 \ge 0 \iff y \ge a + 2$. Тогда $x^2 = y - a - 2$, то есть $y = x^2 + a + 2$. Преобразуем второе уравнение: $$ y^2 = x^2 + 2ax + a^2 \iff y^2 = (x + a)^2 \iff |y| = |x + a| $$ Так как $y \ge a + 2$, то: 1. Если $y = x + a$, то $x + a \ge a + 2 \implies x \ge 2$, что противоречит условию $x \le 0$. В этом случае решений нет. 2. Если $y = -(x + a) = -x - a$, то: $$ x^2 + a + 2 = -x - a \iff x^2 + x + 2a + 2 = 0 $$ Условие $y \ge a + 2$ принимает вид $-x - a \ge a + 2 \iff x \le -2a - 2$. Заметим, что для любого корня уравнения $x^2 + x + 2a + 2 = 0$ выполнено: $-x - 2a - 2 = x^2 \ge 0 \implies x \le -2a - 2$, поэтому данное ограничение выполняется автоматически. Для того чтобы система имела два различных решения, квадратное уравнение $x^2 + x + 2a + 2 = 0$ должно иметь два различных корня, удовлетворяющих условию $x \le 0$: 1. Дискриминант положителен: $$ D = 1^2 - 4(2a + 2) = 1 - 8a - 8 = -8a - 7 > 0 \implies a < -\frac{7}{8} $$ 2. По теореме Виета $x_1 + x_2 = -1 < 0$. Чтобы оба корня были неположительными, их произведение должно быть неотрицательным: $$ x_1 x_2 = 2a + 2 \ge 0 \implies a \ge -1 $$ Объединяя условия, получаем $a \in \left[-1; -\frac{7}{8}\right)$. Ответ: $a \in \left[-1; -\frac{7}{8}\right)$. --- b) Рассмотрим систему: $$ \begin{cases} y + \ln \frac{|y|}{y} = x \\ y + 2(x + a)^2 = x + 2a + 4 \end{cases} $$ Для существования логарифма необходимо, чтобы $\frac{|y|}{y} > 0$, откуда $y > 0$. При $y > 0$ имеем $|y| = y$, следовательно, $\frac{|y|}{y} = 1$, а $\ln 1 = 0$. Тогда первое уравнение принимает вид $y = x$, при этом $x > 0$. Подставим $y = x$ во второе уравнение: $$ x + 2(x + a)^2 = x + 2a + 4 \iff 2(x + a)^2 = 2a + 4 \iff (x + a)^2 = a + 2 $$ Система имеет единственное решение, если уравнение $(x + a)^2 = a + 2$ имеет ровно один корень, удовлетворяющий условию $x > 0$: 1. Если $a + 2 = 0 \implies a = -2$: $(x - 2)^2 = 0 \implies x = 2 > 0$ — корень единственный. Значение $a = -2$ подходит. 2. Если $a + 2 > 0 \iff a > -2$: Уравнение имеет два корня: $$ x_1 = -a + \sqrt{a + 2}, \quad x_2 = -a - \sqrt{a + 2} $$ Так как $\sqrt{a + 2} > 0$, то $x_1 > x_2$. Ровно один корень будет положительным тогда и только тогда, когда $x_2 \le 0 < x_1$: - Условие $x_1 > 0 \iff \sqrt{a + 2} > a$: при $a \in (-2; 0)$ неравенство верно, так как $\sqrt{a+2} > 0 > a$; при $a \ge 0$: $a + 2 > a^2 \iff a^2 - a - 2 < 0 \iff (a - 2)(a + 1) < 0 \implies 0 \le a < 2$. Таким образом, $x_1 > 0$ при $a \in (-2; 2)$. - Условие $x_2 \le 0 \iff \sqrt{a + 2} \ge -a$: при $a \ge 0$ неравенство верно, так как $-a \le 0 \le \sqrt{a+2}$; при $a < 0$: $a + 2 \ge a^2 \iff a^2 - a - 2 \le 0 \iff -1 \le a < 0$. Таким образом, $x_2 \le 0$ при $a \ge -1$. Пересекая эти условия, получаем $a \in [-1; 2)$. Объединяя с $a = -2$, получаем $a \in \{-2\} \cup [-1; 2)$. Ответ: $a \in \{-2\} \cup [-1; 2)$. --- c) Рассмотрим систему: $$ \begin{cases} y = \log_2 \left( 1 + \frac{|x|}{x} \right) \\ (x - a)^2 + (y - a)^2 = 1 \end{cases} $$ В первом уравнении выражение $\frac{|x|}{x}$ определено при $x \ne 0$: - При $x < 0$: $\frac{|x|}{x} = -1 \implies 1 + \frac{|x|}{x} = 0$, логарифм не определен. - При $x > 0$: $\frac{|x|}{x} = 1 \implies y = \log_2(1 + 1) = \log_2 2 = 1$. Таким образом, первое уравнение задает луч $y = 1$ при $x > 0$. Второе уравнение задает окружность с центром $(a; a)$ и радиусом $R = 1$. Подставим $y = 1$ во второе уравнение: $$ (x - a)^2 + (1 - a)^2 = 1 \iff (x - a)^2 = 1 - (1 - a)^2 \iff (x - a)^2 = 2a - a^2 $$ Для существования решений необходимо $2a - a^2 \ge 0 \iff a(2 - a) \ge 0 \iff 0 \le a \le 2$. Система имеет единственное решение, если окружность пересекает луч $y = 1$ ($x > 0$) ровно в одной точке: 1. Случай касания ($2a - a^2 = 0$): - При $a = 0$: $(x - 0)^2 = 0 \implies x = 0$. Точка $(0; 1)$ не лежит на луче ($x > 0$), решений нет. - При $a = 2$: $(x - 2)^2 = 0 \implies x = 2 > 0$. Решение единственное. Значение $a = 2$ подходит. 2. Случай двух точек пересечения с прямой $y = 1$ ($0 < a < 2$): $$ x_1 = a + \sqrt{2a - a^2}, \quad x_2 = a - \sqrt{2a - a^2} $$ Так как $a > 0$, то $x_1 > 0$ всегда. Чтобы решение системы было единственным, меньший корень должен не принадлежать лучу, то есть $x_2 \le 0$: $$ a - \sqrt{2a - a^2} \le 0 \iff \sqrt{2a - a^2} \ge a $$ Возведем в квадрат обе неотрицательные части: $$ 2a - a^2 \ge a^2 \iff 2a^2 - 2a \le 0 \iff 2a(a - 1) \le 0 $$ С учетом $a > 0$ получаем $0 < a \le 1$. Объединяя найденные значения, получаем $a \in (0; 1] \cup \{2\}$. Ответ: $a \in (0; 1] \cup \{2\}$. --- d) Рассмотрим систему: $$ \begin{cases} 2 + \log_2 y = \log_2 (x + 3y) \\ y = x + 2a - 4 + 2(x - a)^2 \end{cases} $$ Преобразуем первое уравнение с учетом ОДЗ ($y > 0$, $x + 3y > 0$): $$ \log_2 4 + \log_2 y = \log_2 (x + 3y) \iff \log_2 (4y) = \log_2 (x + 3y) \iff 4y = x + 3y \iff y = x $$ Условие $y > 0$ дает $x > 0$ (при этом $x + 3y = 4x > 0$ выполняется автоматически). Подставим $y = x$ во второе уравнение: $$ x = x + 2a - 4 + 2(x - a)^2 \iff 2(x - a)^2 = 4 - 2a \iff (x - a)^2 = 2 - a $$ Система имеет два различных решения, если это уравнение имеет два различных корня, и оба они строго положительны: 1. Наличие двух различных корней: $$ 2 - a > 0 \iff a < 2 $$ Тогда корни равны $x_1 = a + \sqrt{2 - a}$ и $x_2 = a - \sqrt{2 - a}$. 2. Оба корня положительны ($x_1 > x_2 > 0$), следовательно, достаточно потребовать $x_2 > 0$: $$ a - \sqrt{2 - a} > 0 \iff a > \sqrt{2 - a} $$ Так как $\sqrt{2 - a} \ge 0$, должно выполняться $a > 0$. Возводя обе части в квадрат: $$ a^2 > 2 - a \iff a^2 + a - 2 > 0 \iff (a + 2)(a - 1) > 0 $$ Решением неравенства являются $a < -2$ или $a > 1$. С учетом условий $a > 0$ и $a < 2$ получаем $1 < a < 2$. Ответ: $a \in (1; 2)$.