ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 15 - 39

### а) Решение Рассмотрим неравенство: $$ \sqrt{x^2 - 10x + 26} \geqslant \frac{2a^2 - 4a - 3}{a^2 - 2a - 8} $$ 1. Исследуем левую часть неравенства при всех действительных значениях $x$. Выделим полный квадрат под знаком корня: $$ x^2 - 10x + 26 = (x - 5)^2 + 1 $$ Так как $(x - 5)^2 \geqslant 0$ для любого $x \in \mathbb{R}$, то: $$ (x - 5)^2 + 1 \geqslant 1 \implies \sqrt{x^2 - 10x + 26} \geqslant 1 $$ Наименьшее значение левой части равно $1$ и достигается при $x = 5$. 2. Неравенство вида $f(x) \geqslant C$ выполняется для всех $x \in \mathbb{R}$ тогда и только тогда, когда наименьшее значение функции $f(x)$ не меньше $C$: $$ \min_{x \in \mathbb{R}} \sqrt{x^2 - 10x + 26} \geqslant \frac{2a^2 - 4a - 3}{a^2 - 2a - 8} $$ $$ 1 \geqslant \frac{2a^2 - 4a - 3}{a^2 - 2a - 8} $$ 3. Решим полученное рациональное неравенство относительно $a$: $$ \frac{2a^2 - 4a - 3}{a^2 - 2a - 8} - 1 \leqslant 0 $$ $$ \frac{2a^2 - 4a - 3 - (a^2 - 2a - 8)}{a^2 - 2a - 8} \leqslant 0 $$ $$ \frac{a^2 - 2a + 5}{a^2 - 2a - 8} \leqslant 0 $$ В числителе выделим полный квадрат: $$ a^2 - 2a + 5 = (a - 1)^2 + 4 > 0 \quad \text{при всех } a \in \mathbb{R} $$ Поскольку числитель строго положителен при любых значениях $a$, знак дроби определяется её знаменателем: $$ a^2 - 2a - 8 < 0 $$ Разложим квадратный трёхчлен на множители: $$ (a + 2)(a - 4) < 0 $$ Отсюда получаем: $$ -2 < a < 4 $$ **Ответ к пункту а:** $a \in (-2; 4)$. --- ### б) Решение Рассмотрим неравенство: $$ \sqrt{x^2 + 8x + 20} \leqslant \frac{2a^2 - 4a - 3}{a^2 - 2a - 8} $$ 1. Исследуем левую часть неравенства. Выделим полный квадрат под знаком корня: $$ x^2 + 8x + 20 = (x + 4)^2 + 4 $$ Так как $(x + 4)^2 \geqslant 0$ для любого $x \in \mathbb{R}$, то: $$ (x + 4)^2 + 4 \geqslant 4 \implies \sqrt{x^2 + 8x + 20} \geqslant \sqrt{4} = 2 $$ Наименьшее значение левой части равно $2$ и достигается при $x = -4$. 2. Неравенство вида $g(x) \leqslant C$ не имеет решений тогда и только тогда, когда правая часть строго меньше наименьшего значения левой части (при условии, что правая часть определена): $$ \frac{2a^2 - 4a - 3}{a^2 - 2a - 8} < \min_{x \in \mathbb{R}} \sqrt{x^2 + 8x + 20} $$ $$ \frac{2a^2 - 4a - 3}{a^2 - 2a - 8} < 2 $$ 3. Решим полученное неравенство: $$ \frac{2a^2 - 4a - 3}{a^2 - 2a - 8} - 2 < 0 $$ $$ \frac{2a^2 - 4a - 3 - 2(a^2 - 2a - 8)}{a^2 - 2a - 8} < 0 $$ $$ \frac{2a^2 - 4a - 3 - 2a^2 + 4a + 16}{a^2 - 2a - 8} < 0 $$ $$ \frac{13}{a^2 - 2a - 8} < 0 $$ Так как числитель $13 > 0$, дробь отрицательна тогда и только тогда, когда знаменатель отрицателен: $$ a^2 - 2a - 8 < 0 $$ $$ (a + 2)(a - 4) < 0 $$ $$ -2 < a < 4 $$ *(При $a = -2$ и $a = 4$ знаменатель дроби равен нулю, поэтому правая часть не определена).* **Ответ к пункту б:** $a \in (-2; 4)$.