ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 15 - 43

Пусть $f(x) = 2x^2 - 3x + a + 12$ и $g(x) = x^2 + 10x + a$. Обозначим через $S_1$ множество решений неравенства $f(x) \leqslant 0$, а через $S_2$ — множество решений неравенства $g(x) \leqslant 0$. 1. Найдем условия, при которых множество решений $S_1$ не пусто. График функции $f(x)$ — парабола с ветвями, направленными вверх (коэффициент при $x^2$ равен $2 > 0$). Следовательно, неравенство $f(x) \leqslant 0$ имеет решения тогда и только тогда, когда дискриминант соответствующего квадратного уравнения неотрицателен: $$ D_1 = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (a + 12) = 9 - 8a - 96 = -8a - 87 \geqslant 0 $$ $$ 8a \leqslant -87 \implies a \leqslant -\frac{87}{8} $$ При этом условии множество $S_1$ представляет собой отрезок $[x_1; x_2]$ (при $D_1 = 0$ — точку), где $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $f(x) = 0$: $$ x_1 = \frac{3 - \sqrt{-8a - 87}}{4}, \quad x_2 = \frac{3 + \sqrt{-8a - 87}}{4} $$ 2. Условие того, что множество $S_1$ содержится среди решений неравенства $g(x) \leqslant 0$, означает, что отрезок $[x_1; x_2]$ содержится во множестве $S_2$. График функции $g(x) = x^2 + 10x + a$ также является параболой с ветвями, направленными вверх. Поэтому условие $g(x) \leqslant 0$ для всех $x \in [x_1; x_2]$ выполняется тогда и только тогда, когда на концах отрезка значения функции неположительны: $$ \begin{cases} g(x_1) \leqslant 0, \\ g(x_2) \leqslant 0. \end{cases} $$ Так как $x_1$ и $x_2$ являются корнями уравнения $2x^2 - 3x + a + 12 = 0$, то для них верно равенство: $$ x^2 = \frac{3x - a - 12}{2} $$ Подставим это выражение в $g(x)$: $$ g(x) = \frac{3x - a - 12}{2} + 10x + a = \frac{23x + a - 12}{2} $$ Тогда неравенство $g(x) \leqslant 0$ для корней уравнения равносильно линейному неравенству: $$ 23x + a - 12 \leqslant 0 \iff x \leqslant \frac{12 - a}{23} $$ Чтобы оба корня $x_1$ и $x_2$ удовлетворяли этому условию, достаточно потребовать выполнения неравенства для большего корня $x_2$: $$ x_2 \leqslant \frac{12 - a}{23} $$ $$ \frac{3 + \sqrt{-8a - 87}}{4} \leqslant \frac{12 - a}{23} $$ Умножим обе части неравенства на $92 > 0$: $$ 23(3 + \sqrt{-8a - 87}) \leqslant 4(12 - a) $$ $$ 69 + 23\sqrt{-8a - 87} \leqslant 48 - 4a $$ $$ 23\sqrt{-8a - 87} \leqslant -4a - 21 $$ 3. Решим полученное иррациональное неравенство: $$ \begin{cases} -8a - 87 \geqslant 0, \\ -4a - 21 \geqslant 0, \\ 23^2(-8a - 87) \leqslant (-4a - 21)^2 \end{cases} $$ Из первого неравенства: $a \leqslant -\frac{87}{8} = -10{,}875$. При таких $a$ второе неравенство $-4a - 21 \geqslant 0 \iff a \leqslant -\frac{21}{4} = -5{,}25$ выполняется автоматически. Преобразуем третье неравенство: $$ 529(-8a - 87) \leqslant 16a^2 + 168a + 441 $$ $$ -4232a - 46023 \leqslant 16a^2 + 168a + 441 $$ $$ 16a^2 + 4400a + 46464 \geqslant 0 $$ Разделим обе части на $16$: $$ a^2 + 275a + 2904 \geqslant 0 $$ Найдем дискриминант квадратного трехчлена: $$ D = 275^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2904 = 75625 - 11616 = 64009 = 253^2 $$ Корни уравнения $a^2 + 275a + 2904 = 0$: $$ a_1 = \frac{-275 - 253}{2} = -264, \quad a_2 = \frac{-275 + 253}{2} = -11 $$ Следовательно, решением неравенства является: $$ a \leqslant -264 \quad \text{или} \quad a \geqslant -11 $$ 4. Объединим найденные ограничения с условием $a \leqslant -\frac{87}{8}$: $$ \begin{cases} a \in (-\infty; -264] \cup [-11; +\infty), \\ a \leqslant -\frac{87}{8} \end{cases} $$ С учетом того, что $-11 < -\frac{87}{8}$, получаем: $$ a \in (-\infty; -264] \cup \left[-11; -\frac{87}{8}\right] $$ Ответ: $a \in (-\infty; -264] \cup \left[-11; -\frac{87}{8}\right]$.