ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 15 - 40

**а)** Преобразуем неравенство $a^2 + a - \sin^2 x - 2a \cos x > 1$. Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$: $$ a^2 + a - (1 - \cos^2 x) - 2a \cos x > 1 $$ $$ \cos^2 x - 2a \cos x + a^2 + a - 2 > 0 $$ Сделаем замену переменной: пусть $t = \cos x$, где $t \in [-1; 1]$. Неравенство принимает вид: $$ f(t) = t^2 - 2at + a^2 + a - 2 > 0 $$ Данное неравенство должно выполняться для всех $t \in [-1; 1]$. Графиком функции $f(t) = (t - a)^2 + a - 2$ является парабола с ветвями, направленными вверх, и вершиной в точке $t_0 = a$. Рассмотрим три возможных случая расположения вершины параболы относительно отрезка $[-1; 1]$: 1. Вершина лежит левее отрезка: $a < -1$. На отрезке $[-1; 1]$ функция $f(t)$ возрастает, следовательно, наименьшее значение достигается на левом конце: $$ f(-1) > 0 $$ $$ (-1)^2 - 2a(-1) + a^2 + a - 2 > 0 $$ $$ a^2 + 3a - 1 > 0 $$ Корни уравнения $a^2 + 3a - 1 = 0$: $a_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{13}}{2}$. Решение неравенства: $a \in \left(-\infty; \frac{-3 - \sqrt{13}}{2}\right) \cup \left(\frac{-3 + \sqrt{13}}{2}; +\infty\right)$. С учетом условия $a < -1$ получаем: $$ a \in \left(-\infty; \frac{-3 - \sqrt{13}}{2}\right) $$ 2. Вершина лежит внутри отрезка: $-1 \leqslant a \leqslant 1$. Наименьшее значение функция принимает в вершине параболы: $$ f(a) > 0 \iff a - 2 > 0 \iff a > 2 $$ Система $\begin{cases} -1 \leqslant a \leqslant 1, \\ a > 2 \end{cases}$ решений не имеет. 3. Вершина лежит правее отрезка: $a > 1$. На отрезке $[-1; 1]$ функция $f(t)$ убывает, следовательно, наименьшее значение достигается на правом конце: $$ f(1) > 0 $$ $$ 1^2 - 2a \cdot 1 + a^2 + a - 2 > 0 $$ $$ a^2 - a - 1 > 0 $$ Корни уравнения $a^2 - a - 1 = 0$: $a_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$. Решение неравенства: $a \in \left(-\infty; \frac{1 - \sqrt{5}}{2}\right) \cup \left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}; +\infty\right)$. С учетом условия $a > 1$ получаем: $$ a \in \left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}; +\infty\right) $$ Объединяя найденные промежутки, получаем: $$ a \in \left(-\infty; \frac{-3 - \sqrt{13}}{2}\right) \cup \left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}; +\infty\right) $$ --- **б)** Преобразуем выражение под знаком модуля в неравенстве $|3 \sin^2 x + 2a \sin x \cos x + \cos^2 x + a| \leqslant 3$. Используем формулы понижения степени и двойного угла: * $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$; * $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$; * $2 \sin x \cos x = \sin 2x$. Подставим их в выражение: $$ 3 \sin^2 x + \cos^2 x = 3 \cdot \frac{1 - \cos 2x}{2} + \frac{1 + \cos 2x}{2} = \frac{4 - 2 \cos 2x}{2} = 2 - \cos 2x $$ Тогда выражение внутри модуля принимает вид: $$ g(x) = (a + 2) + a \sin 2x - \cos 2x $$ Оценим выражение $a \sin 2x - \cos 2x$ методом вспомогательного угла: $$ -\sqrt{a^2 + (-1)^2} \leqslant a \sin 2x - \cos 2x \leqslant \sqrt{a^2 + (-1)^2} $$ $$ -\sqrt{a^2 + 1} \leqslant a \sin 2x - \cos 2x \leqslant \sqrt{a^2 + 1} $$ Следовательно, область значений функции $g(x)$ — отрезок $[g_{\min}; g_{\max}]$, где: $$ g_{\min} = a + 2 - \sqrt{a^2 + 1}, \quad g_{\max} = a + 2 + \sqrt{a^2 + 1} $$ Неравенство $|g(x)| \leqslant 3$ выполняется при всех $x \in \mathbb{R}$ тогда и только тогда, когда отрезок $[g_{\min}; g_{\max}]$ целиком содержится в $[-3; 3]$, то есть: $$ \begin{cases} g_{\max} \leqslant 3 \\ g_{\min} \geqslant -3 \end{cases} \iff \begin{cases} a + 2 + \sqrt{a^2 + 1} \leqslant 3 \\ a + 2 - \sqrt{a^2 + 1} \geqslant -3 \end{cases} \iff \begin{cases} \sqrt{a^2 + 1} \leqslant 1 - a \\ \sqrt{a^2 + 1} \leqslant a + 5 \end{cases} $$ Решим первое неравенство системы: $$ \sqrt{a^2 + 1} \leqslant 1 - a \iff \begin{cases} 1 - a \geqslant 0 \\ a^2 + 1 \leqslant (1 - a)^2 \end{cases} \iff \begin{cases} a \leqslant 1 \\ a^2 + 1 \leqslant 1 - 2a + a^2 \end{cases} \iff \begin{cases} a \leqslant 1 \\ 2a \leqslant 0 \end{cases} \iff a \leqslant 0 $$ Решим второе неравенство системы: $$ \sqrt{a^2 + 1} \leqslant a + 5 \iff \begin{cases} a + 5 \geqslant 0 \\ a^2 + 1 \leqslant (a + 5)^2 \end{cases} \iff \begin{cases} a \geqslant -5 \\ a^2 + 1 \leqslant a^2 + 10a + 25 \end{cases} \iff \begin{cases} a \geqslant -5 \\ 10a \geqslant -24 \end{cases} \iff a \geqslant -2{,}4 $$ Пересекая полученные условия, находим: $$ -2{,}4 \leqslant a \leqslant 0 $$ --- **Ответ:** **а)** $a \in \left(-\infty; \frac{-3 - \sqrt{13}}{2}\right) \cup \left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}; +\infty\right)$; **б)** $a \in [-2{,}4; 0]$.