ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 15 - 38

**а)** Требуется найти все значения параметра $a$, при которых неравенство $$(a - 2)x^2 - 2x - a > 0$$ выполняется для всех $x > 3$. Рассмотрим функцию $f(x) = (a - 2)x^2 - 2x - a$. 1. Если $a - 2 = 0$, то есть $a = 2$: $$f(x) = -2x - 2 > 0 \iff x < -1.$$ Решением является интервал $(-\infty; -1)$, который не содержит луч $(3; +\infty)$. Значит, значение $a = 2$ не подходит. 2. Если $a - 2 < 0$, то есть $a < 2$: Графиком функции $f(x)$ является парабола, ветви которой направлены вниз. При $x \to +\infty$ функция принимает сколь угодно большие по модулю отрицательные значения, поэтому неравенство $f(x) > 0$ не может выполняться для всех $x > 3$. 3. Если $a - 2 > 0$, то есть $a > 2$: Графиком функции $f(x)$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Найдем корни уравнения $f(x) = 0$: $$D_1 = \left(\frac{D}{4}\right) = (-1)^2 - (a - 2)(-a) = 1 + a^2 - 2a = (a - 1)^2.$$ Так как $a > 2$, то $(a - 1)^2 > 0$, и трехчлен всегда имеет два различных корня: $$x_1 = \frac{1 - (a - 1)}{a - 2} = \frac{2 - a}{a - 2} = -1,$$ $$x_2 = \frac{1 + (a - 1)}{a - 2} = \frac{a}{a - 2}.$$ Так как $a > 2$, корень $x_2 = 1 + \frac{2}{a - 2} > 1 > -1$, следовательно, $x_2$ — больший корень. Множество решений строгого неравенства $f(x) > 0$ представляет собой объединение: $$x \in (-\infty; -1) \cup \left(\frac{a}{a - 2}; +\infty\right).$$ Чтобы все $x > 3$ являлись решениями данного неравенства, промежуток $(3; +\infty)$ должен целиком содержаться во множестве решений, то есть: $$\frac{a}{a - 2} \le 3.$$ Решим полученное неравенство с учетом $a > 2$: $$a \le 3(a - 2),$$ $$a \le 3a - 6,$$ $$2a \ge 6 \iff a \ge 3.$$ Условие $a \ge 3$ удовлетворяет ограничению $a > 2$. **Ответ к пункту а):** $a \in [3; +\infty)$. --- **б)** Требуется найти все значения параметра $a$, при которых неравенство $$(a - 2)x^2 - 2x - 3a + 10 > 0$$ выполняется для всех $x > 1,5$. Рассмотрим функцию $g(x) = (a - 2)x^2 - 2x - 3a + 10$. 1. Если $a - 2 = 0$, то есть $a = 2$: $$g(x) = -2x + 4 > 0 \iff x < 2.$$ Решение $(-\infty; 2)$ не включает в себя все $x > 1,5$. Значение $a = 2$ не подходит. 2. Если $a - 2 < 0$, то есть $a < 2$: Ветви параболы направлены вниз, и при достаточно больших значениях $x$ трехчлен принимает отрицательные значения. Следовательно, решений нет. 3. Если $a - 2 > 0$, то есть $a > 2$: Ветви параболы направлены вверх. Найдем дискриминант: $$D_1 = \left(\frac{D}{4}\right) = (-1)^2 - (a - 2)(-(3a - 10)) = 1 + (a - 2)(3a - 10) = 3a^2 - 16a + 21 = (3a - 7)(a - 3).$$ Неравенство $g(x) > 0$ будет выполняться для всех $x > 1,5$ в двух случаях: - **Случай 1:** $D_1 < 0$. Тогда трехчлен не имеет действительных корней и $g(x) > 0$ при всех $x \in \mathbb{R}$: $$(3a - 7)(a - 3) < 0 \iff \frac{7}{3} < a < 3.$$ С учетом условия $a > 2$, получаем интервал $a \in \left(\frac{7}{3}; 3\right)$. - **Случай 2:** $D_1 \ge 0$. Тогда трехчлен имеет действительные корни. Чтобы все $x > 1,5$ были решениями строгого неравенства, больший корень параболы не должен превышать $1,5$ (при совпадении с $1,5$ для всех $x > 1,5$ значение функции остается положительным). Для параболы с ветвями вверх это равносильно выполнению системы: $$\begin{cases} D_1 \ge 0, \\ x_{\text{в}} \le 1,5, \\ g(1,5) \ge 0. \end{cases}$$ Найдем абсциссу вершины параболы: $$x_{\text{в}} = \frac{2}{2(a - 2)} = \frac{1}{a - 2}.$$ Вычислим значение $g(1,5)$: $$g(1,5) = (a - 2) \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^2 - 2 \cdot \frac{3}{2} - 3a + 10 = \frac{9}{4}(a - 2) - 3 - 3a + 10 = -\frac{3}{4}a + \frac{5}{2}.$$ Запишем систему неравенств: $$\begin{cases} (3a - 7)(a - 3) \ge 0, \\ \dfrac{1}{a - 2} \le \dfrac{3}{2}, \\ -\dfrac{3}{4}a + \dfrac{5}{2} \ge 0, \\ a > 2. \end{cases}$$ Решим каждое неравенство системы: 1) $(3a - 7)(a - 3) \ge 0 \implies a \in \left(-\infty; \frac{7}{3}\right] \cup [3; +\infty)$. 2) Так как $a - 2 > 0$, получаем: $1 \le \frac{3}{2}(a - 2) \iff 2 \le 3a - 6 \iff a \ge \frac{8}{3}$. 3) $-\frac{3}{4}a \ge -\frac{5}{2} \iff a \le \frac{10}{3}$. Пересекая полученные условия при $a > 2$: $$a \in [3; +\infty) \cap \left[\frac{8}{3}; \frac{10}{3}\right] \implies a \in \left[3; \frac{10}{3}\right].$$ Объединяя результаты Случая 1 и Случая 2, получаем: $$a \in \left(\frac{7}{3}; 3\right) \cup \left[3; \frac{10}{3}\right] = \left(\frac{7}{3}; \frac{10}{3}\right].$$ **Ответ к пункту б):** $a \in \left(\frac{7}{3}; \frac{10}{3}\right]$.