ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 15 - 42

Преобразуем исходное неравенство, перенеся все слагаемые в левую часть: $$ x + 7a + \frac{7a^2 - a - 2}{x - 2} < 0 $$ Область допустимых значений неравенства: $x \neq 2$. По условию задачи неравенство не должно иметь решений, больших $1$. Это означает, что для всех $x \in (1; 2) \cup (2; +\infty)$ должно выполняться противоположное неравенство: $$ x + 7a + \frac{7a^2 - a - 2}{x - 2} \ge 0 $$ Обозначим числитель дроби через $C = 7a^2 - a - 2$ и рассмотрим возможные случаи в зависимости от знака $C$: 1. Пусть $C > 0$. Рассмотрим значения $x \in (1; 2)$. В этом случае $x - 2 < 0$. При стремлении $x$ к $2$ слева ($x \to 2^-$) знаменатель $x - 2$ стремится к нулю, оставаясь отрицательным, а числитель $C > 0$. Следовательно: $$ \lim_{x \to 2^-} \frac{C}{x - 2} = -\infty $$ Так как слагаемое $x + 7a$ при $x \to 2^-$ стремится к конечному числу $2 + 7a$, то: $$ \lim_{x \to 2^-} \left(x + 7a + \frac{C}{x - 2}\right) = -\infty $$ Это означает, что на интервале $(1; 2)$ найдутся такие значения $x$, при которых левая часть станет строго меньше нуля. Таким образом, неравенство будет иметь решения, удовлетворяющие условию $x > 1$, что противоречит условию задачи. Значит, случай $C > 0$ невозможен. 2. Пусть $C < 0$. Рассмотрим значения $x \in (2; +\infty)$. В этом случае $x - 2 > 0$. При стремлении $x$ к $2$ справа ($x \to 2^+$) знаменатель $x - 2 \to 0^+$, а числитель $C < 0$. Следовательно: $$ \lim_{x \to 2^+} \frac{C}{x - 2} = -\infty $$ Аналогично получаем: $$ \lim_{x \to 2^+} \left(x + 7a + \frac{C}{x - 2}\right) = -\infty $$ Следовательно, найдутся значения $x > 2 > 1$, при которых неравенство выполняется. Значит, случай $C < 0$ также невозможен. 3. Единственная оставшаяся возможность — $C = 0$, то есть: $$ 7a^2 - a - 2 = 0 $$ Найдем корни этого квадратного уравнения: $$ D = (-1)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-2) = 1 + 56 = 57 $$ $$ a_1 = \frac{1 + \sqrt{57}}{14}, \quad a_2 = \frac{1 - \sqrt{57}}{14} $$ При $C = 0$ исходное неравенство при $x \neq 2$ принимает вид: $$ x + 7a < 0 \iff x < -7a $$ Множеством его решений является интервал $(-\infty; -7a)$ за исключением точки $x = 2$. Чтобы данное неравенство не имело решений, больших $1$, необходимо и достаточно, чтобы весь интервал решений лежал не правее точки $1$: $$ -7a \le 1 \iff a \ge -\frac{1}{7} $$ Проверим найденные значения параметра $a$: - Для $a_1 = \dfrac{1 + \sqrt{57}}{14}$: Так как $\sqrt{57} > 0$, то $a_1 > 0 \ge -\dfrac{1}{7}$, следовательно, $a_1$ удовлетворяет условию. - Для $a_2 = \dfrac{1 - \sqrt{57}}{14}$: Так как $\sqrt{57} > \sqrt{49} = 7$, получаем: $$ a_2 = \frac{1 - \sqrt{57}}{14} < \frac{1 - 7}{14} = -\frac{6}{14} = -\frac{3}{7} < -\frac{1}{7} $$ Следовательно, $a_2$ условию не удовлетворяет. Ответ: $a = \dfrac{1 + \sqrt{57}}{14}$.