ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 15 - 37

### а) Рассмотрим уравнение: $$ \log_{2x+1}(3x^2 - bx - 0,25b) = 2 $$ По определению логарифма данное уравнение равносильно системе: $$ \begin{cases} 3x^2 - bx - 0,25b = (2x+1)^2 \\ 2x + 1 > 0 \\ 2x + 1 \neq 1 \end{cases} $$ Условие $3x^2 - bx - 0,25b > 0$ выполняется автоматически, так как аргумент равен квадрату выражения $(2x+1)$, отличного от нуля при выполнении ограничений на основание. 1. Ограничения на переменную $x$: $$ \begin{cases} 2x > -1 \\ 2x \neq 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x > -0,5 \\ x \neq 0 \end{cases} $$ То есть $x \in (-0,5; 0) \cup (0; +\infty)$. 2. Преобразуем уравнение системы: $$ 3x^2 - bx - 0,25b = 4x^2 + 4x + 1 $$ $$ x^2 + (b + 4)x + 0,25b + 1 = 0 $$ 3. Исходное уравнение имеет два различных корня тогда и только тогда, когда полученное квадратное уравнение имеет два различных корня, каждый из которых строго больше $-0,5$ и не равен $0$. Пусть $f(x) = x^2 + (b + 4)x + 0,25b + 1$. График функции $y = f(x)$ — парабола с ветвями, направленными вверх. - Дискриминант должен быть строго положителен: $$ D = (b + 4)^2 - 4(0,25b + 1) = b^2 + 8b + 16 - b - 4 = b^2 + 7b + 12 $$ $$ b^2 + 7b + 12 > 0 \iff (b + 3)(b + 4) > 0 \iff b \in (-\infty; -4) \cup (-3; +\infty) $$ - Чтобы оба корня лежали правее точки $-0,5$, необходимо и достаточно выполнение условий: $$ \begin{cases} D > 0 \\ x_{\text{в}} > -0,5 \\ f(-0,5) > 0 \end{cases} $$ где $x_{\text{в}} = -\frac{b+4}{2}$ — абсцисса вершины параболы. Решим систему: $$ \begin{cases} -\frac{b+4}{2} > -0,5 \\ (-0,5)^2 + (b+4)(-0,5) + 0,25b + 1 > 0 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} b + 4 < 1 \\ 0,25 - 0,5b - 2 + 0,25b + 1 > 0 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} b < -3 \\ -0,25b - 0,75 > 0 \end{cases} \iff \begin{cases} b < -3 \\ b < -3 \end{cases} \iff b < -3 $$ Пересекая с условием $D > 0$, получаем: $$ b \in (-\infty; -4) $$ - Проверим, могут ли корни равняться $0$: $$ f(0) \neq 0 \iff 0,25b + 1 \neq 0 \iff b \neq -4 $$ При $b < -4$ значение $f(0) = 0,25b + 1 < 0,25(-4) + 1 = 0$. Так как $f(-0,5) > 0$, $f(0) < 0$ и ветви параболы направлены вверх, один корень лежит в промежутке $(-0,5; 0)$, а второй — в $(0; +\infty)$. Значит, ни один из корней не равен $0$, и оба принадлежат допустимым значениям. **Ответ к пункту а:** $b \in (-\infty; -4)$. --- ### б) Рассмотрим уравнение: $$ \log_{x-b}(0,75x^2 - x + b^2 - b) = 2 $$ Уравнение равносильно системе: $$ \begin{cases} 0,75x^2 - x + b^2 - b = (x - b)^2 \\ x - b > 0 \\ x - b \neq 1 \end{cases} \iff \begin{cases} 0,75x^2 - x + b^2 - b = x^2 - 2bx + b^2 \\ x > b \\ x \neq b + 1 \end{cases} $$ Преобразуем уравнение: $$ 0,25x^2 + (1 - 2b)x + b = 0 $$ Умножим обе части на 4: $$ x^2 + 4(1 - 2b)x + 4b = 0 $$ Пусть $g(x) = x^2 + 4(1 - 2b)x + 4b$. Найдем дискриминант уравнения $g(x) = 0$: $$ \frac{D}{4} = (2(1 - 2b))^2 - 4b = 4(4b^2 - 4b + 1) - 4b = 16b^2 - 20b + 4 = 4(4b^2 - 5b + 1) $$ $$ D = 16(4b - 1)(b - 1) $$ Исходное уравнение имеет единственный корень в следующих случаях: 1. **Дискриминант равен нулю ($D = 0$):** $b = 0,25$ или $b = 1$. - При $b = 0,25$: уравнение принимает вид $x^2 + 2x + 1 = 0 \implies x = -1$. Проверим условие $x > b$: $-1 > 0,25$ — неверно. Корень посторонний. - При $b = 1$: уравнение принимает вид $x^2 - 4x + 4 = 0 \implies x = 2$. Проверим условие $x \neq b + 1$: при $b = 1$ имеем $b + 1 = 2$, значит, $x = 2$ не удовлетворяет условию $x \neq b + 1$. Корень посторонний. Следовательно, при $D = 0$ решений нет. 2. **Дискриминант строго больше нуля ($D > 0$):** $$ b \in (-\infty; 0,25) \cup (1; +\infty) $$ Уравнение $g(x) = 0$ имеет два различных корня $x_1 < x_2$. Единственный корень будет в том случае, когда ровно один из них удовлетворяет условиям $x > b$ и $x \neq b + 1$. Так как ветви параболы направлены вверх, число $b$ лежит строго между корнями ($x_1 < b < x_2$) тогда и только тогда, когда $g(b) < 0$: $$ g(b) = b^2 + 4(1 - 2b)b + 4b = b^2 + 4b - 8b^2 + 4b = -7b^2 + 8b $$ $$ g(b) < 0 \iff -7b^2 + 8b < 0 \iff b(7b - 8) > 0 \iff b \in (-\infty; 0) \cup \left(\frac{8}{7}; +\infty\right) $$ При этих значениях $b$ меньший корень $x_1 < b$ (не подходит по ОДЗ). Больший корень $x_2 > b$ будет решением, если $x_2 \neq b + 1$. Выясним, когда $x = b + 1$ является корнем уравнения $g(x) = 0$: $$ g(b+1) = (b+1)^2 + 4(1 - 2b)(b+1) + 4b = b^2 + 2b + 1 + 4 - 4b - 8b^2 + 4b = -7b^2 + 2b + 5 $$ $$ -7b^2 + 2b + 5 = 0 \iff 7b^2 - 2b - 5 = 0 \iff b = 1 \quad \text{или} \quad b = -\frac{5}{7} $$ - Значение $b = 1$ не принадлежит рассматриваемым промежуткам. - При $b = -\frac{5}{7} \in (-\infty; 0)$ корнем является $x_2 = b + 1 = \frac{2}{7}$, поэтому этот корень посторонний (а $x_1 = -10 < b$ также посторонний). Значит, значение $b = -\frac{5}{7}$ необходимо исключить. 3. **Случай, когда один из корней равен $b$ ($g(b) = 0$):** $$ -7b^2 + 8b = 0 \iff b = 0 \quad \text{или} \quad b = \frac{8}{7} $$ - Если $b = 0$: корни уравнения $x^2 + 4x = 0$ равны $x_1 = -4$ и $x_2 = 0$. Ни один из них не удовлетворяет условию $x > 0$. Значение $b = 0$ не подходит. - Если $b = \frac{8}{7}$: корни уравнения равны $x_1 = \frac{8}{7} = b$ и $x_2 = 4$. Корень $x_1$ не удовлетворяет условию $x > b$, а для $x_2 = 4$ проверяем: $4 > \frac{8}{7}$ и $4 \neq \frac{8}{7} + 1 = \frac{15}{7}$ — верно. Значит, при $b = \frac{8}{7}$ корень единственный ($x = 4$). Значение $b = \frac{8}{7}$ подходит. Объединяя найденные промежутки и точку $b = \frac{8}{7}$, получаем: $$ b \in \left(-\infty; -\frac{5}{7}\right) \cup \left(-\frac{5}{7}; 0\right) \cup \left[\frac{8}{7}; +\infty\right) $$ **Ответ к пункту б:** $b \in \left(-\infty; -\frac{5}{7}\right) \cup \left(-\frac{5}{7}; 0\right) \cup \left[\frac{8}{7}; +\infty\right)$.