ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 15 - 36

а) Дано уравнение: $$ 4^x - (5a - 3)2^x + 4a^2 - 3a = 0 $$ Сделаем замену переменной: пусть $t = 2^x$. Так как показательная функция принимает только положительные значения, то $t > 0$. Уравнение принимает вид: $$ t^2 - (5a - 3)t + 4a^2 - 3a = 0 $$ Каждому положительному значению $t$ соответствует ровно одно значение $x = \log_2 t$. Значит, исходное уравнение имеет единственный корень тогда и только тогда, когда полученное квадратное уравнение имеет: 1. один корень (кратности 2), и этот корень строго положителен; 2. два различных корня, из которых только один строго положителен, а второй неположителен (меньше или равен нулю). Найдем дискриминант квадратного уравнения: $$ D = (5a - 3)^2 - 4(4a^2 - 3a) = 25a^2 - 30a + 9 - 16a^2 + 12a = 9a^2 - 18a + 9 = 9(a - 1)^2 $$ Корни уравнения относительно $t$: $$ t_{1, 2} = \frac{(5a - 3) \pm 3(a - 1)}{2} $$ $$ t_1 = \frac{5a - 3 + 3a - 3}{2} = \frac{8a - 6}{2} = 4a - 3 $$ $$ t_2 = \frac{5a - 3 - (3a - 3)}{2} = \frac{2a}{2} = a $$ Рассмотрим возможные случаи: 1. Дискриминант равен нулю: $D = 0 \implies 9(a - 1)^2 = 0 \implies a = 1$. При $a = 1$: $$ t_1 = t_2 = 1 > 0 $$ Корень положителен, значит, $2^x = 1 \implies x = 0$ — единственный корень. Значение $a = 1$ подходит. 2. Корни различны ($a \neq 1$), и ровно один из них строго больше нуля, а второй меньше или равен нулю. - Если $t_1 > 0$, а $t_2 \le 0$: $$ \begin{cases} 4a - 3 > 0 \\ a \le 0 \end{cases} \implies \begin{cases} a > \frac{3}{4} \\ a \le 0 \end{cases} $$ Система не имеет решений. - Если $t_2 > 0$, а $t_1 \le 0$: $$ \begin{cases} a > 0 \\ 4a - 3 \le 0 \end{cases} \implies \begin{cases} a > 0 \\ a \le \frac{3}{4} \end{cases} \implies 0 < a \le \frac{3}{4} $$ При любом $a \in \left(0; \frac{3}{4}\right]$ выполняется $a \neq 1$, корень $t_2 = a > 0$ дает единственное решение исходного уравнения, а корень $t_1 = 4a - 3 \le 0$ решений не дает. Объединяя найденные значения, получаем: $a \in \left(0; \frac{3}{4}\right] \cup \{1\}$. б) Дано уравнение: $$ 9^x - 2(3a - 2)3^x + 5a^2 - 4a = 0 $$ Сделаем замену переменной: пусть $t = 3^x$, где $t > 0$. Уравнение принимает вид: $$ t^2 - 2(3a - 2)t + 5a^2 - 4a = 0 $$ Исходное уравнение имеет два различных корня тогда и только тогда, когда полученное квадратное уравнение имеет два различных положительных корня ($t_1 > 0$, $t_2 > 0$, $t_1 \neq t_2$). Найдем четверть дискриминанта: $$ \frac{D}{4} = (3a - 2)^2 - (5a^2 - 4a) = 9a^2 - 12a + 4 - 5a^2 + 4a = 4a^2 - 8a + 4 = 4(a - 1)^2 $$ Корни уравнения относительно $t$: $$ t_{1, 2} = (3a - 2) \pm 2(a - 1) $$ $$ t_1 = (3a - 2) + (2a - 2) = 5a - 4 $$ $$ t_2 = (3a - 2) - (2a - 2) = a $$ Корни должны быть различны и положительны, составим систему условий: $$ \begin{cases} t_1 \neq t_2 \\ t_1 > 0 \\ t_2 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 2(a - 1) \neq 0 \\ 5a - 4 > 0 \\ a > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} a \neq 1 \\ a > \frac{4}{5} \\ a > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} a > \frac{4}{5} \\ a \neq 1 \end{cases} $$ Таким образом, $a \in \left(\frac{4}{5}; 1\right) \cup (1; +\infty)$. Ответ: а) $a \in \left(0; \frac{3}{4}\right] \cup \{1\}$; б) $a \in \left(\frac{4}{5}; 1\right) \cup (1; +\infty)$.