ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 15 - 35

а) Дано уравнение: $$ \sqrt{x+1} = x + a $$ Уравнение равносильно системе: $$ \begin{cases} x + a \ge 0 \\ x + 1 = (x + a)^2 \end{cases} $$ Преобразуем второе уравнение: $$ x + 1 = x^2 + 2ax + a^2 $$ $$ x^2 + (2a - 1)x + a^2 - 1 = 0 $$ Найдем дискриминант этого квадратного уравнения: $$ D = (2a - 1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (a^2 - 1) = 4a^2 - 4a + 1 - 4a^2 + 4 = 5 - 4a $$ Исходное иррациональное уравнение имеет единственный корень в следующих случаях: 1. Квадратное уравнение имеет один корень ($D = 0$), и он удовлетворяет условию $x \ge -a$: $$ 5 - 4a = 0 \implies a = \frac{5}{4} $$ При $a = \frac{5}{4}$ корень уравнения: $$ x = -\frac{2a - 1}{2} = -\frac{2 \cdot \frac{5}{4} - 1}{2} = -\frac{3}{4} $$ Проверим условие $x \ge -a$: $$ -\frac{3}{4} \ge -\frac{5}{4} \quad \text{(верно)} $$ Значит, $a = \frac{5}{4}$ подходит. 2. Квадратное уравнение имеет два различных корня ($D > 0 \iff a < \frac{5}{4}$), но условию $x \ge -a$ удовлетворяет только один из них (больший корень). Пусть $f(x) = x^2 + (2a - 1)x + a^2 - 1$. Для того чтобы ровно один корень лежал в промежутке $[-a; +\infty)$, значение функции в граничной точке $x = -a$ должно быть строго меньше нуля (если $f(-a) = 0$, то $x = -a$ является корнем, и при $a < \frac{5}{4}$ абсцисса вершины $x_v = \frac{1-2a}{2} > -a$, то есть оба корня окажутся в области $x \ge -a$): $$ f(-a) < 0 $$ $$ (-a)^2 + (2a - 1)(-a) + a^2 - 1 < 0 $$ $$ a^2 - 2a^2 + a + a^2 - 1 < 0 $$ $$ a - 1 < 0 \implies a < 1 $$ При $a < 1$ меньший корень уравнения меньше $-a$, а больший — больше $-a$, следовательно, исходное уравнение имеет ровно один корень. Ответ к пункту а: $a < 1$, $a = \frac{5}{4}$. --- б) Дано уравнение: $$ \sqrt{x+a} = x + 3 $$ Уравнение равносильно системе: $$ \begin{cases} x + 3 \ge 0 \\ x + a = (x + 3)^2 \end{cases} $$ Преобразуем второе уравнение: $$ x + a = x^2 + 6x + 9 $$ $$ x^2 + 5x + 9 - a = 0 $$ Найдем дискриминант этого квадратного уравнения: $$ D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (9 - a) = 25 - 36 + 4a = 4a - 11 $$ Исходное иррациональное уравнение имеет единственный корень в следующих случаях: 1. Квадратное уравнение имеет один корень ($D = 0$), и он удовлетворяет условию $x \ge -3$: $$ 4a - 11 = 0 \implies a = \frac{11}{4} $$ При $a = \frac{11}{4}$ корень уравнения: $$ x = -\frac{5}{2} = -2{,}5 $$ Проверим условие $x \ge -3$: $$ -2{,}5 \ge -3 \quad \text{(верно)} $$ Значит, $a = \frac{11}{4}$ подходит. 2. Квадратное уравнение имеет два различных корня ($D > 0 \iff a > \frac{11}{4}$), но условию $x \ge -3$ удовлетворяет только больший из них. Пусть $g(x) = x^2 + 5x + 9 - a$. Абсцисса вершины параболы равна $x_v = -2{,}5 > -3$. Чтобы ровно один корень лежал в области $x \ge -3$, точка $x = -3$ должна находиться строго между корнями: $$ g(-3) < 0 $$ $$ (-3)^2 + 5(-3) + 9 - a < 0 $$ $$ 9 - 15 + 9 - a < 0 $$ $$ 3 - a < 0 \implies a > 3 $$ При $a > 3$ меньший корень меньше $-3$ (не подходит), а больший — больше $-3$ (является единственным решением). Ответ к пункту б: $a = \frac{11}{4}$, $a > 3$.