ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 15 - 34

а) Найдем значение параметра $a$, при котором число $0$ является корнем уравнения: $$ \sqrt{a \cos 2x - 3 \sin 2x} = \cos x $$ Подставим $x = 0$ в уравнение: $$ \sqrt{a \cos 0 - 3 \sin 0} = \cos 0 $$ Так как $\cos 0 = 1$ и $\sin 0 = 0$, получаем: $$ \sqrt{a \cdot 1 - 3 \cdot 0} = 1 $$ $$ \sqrt{a} = 1 \implies a = 1 $$ При $a = 1$ решим уравнение: $$ \sqrt{\cos 2x - 3 \sin 2x} = \cos x $$ Уравнение равносильно системе: $$ \begin{cases} \cos x \ge 0, \\ \cos 2x - 3 \sin 2x = \cos^2 x \end{cases} $$ Преобразуем уравнение системы, используя формулы $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$ и $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$: $$ \cos^2 x - \sin^2 x - 6 \sin x \cos x = \cos^2 x $$ $$ -\sin^2 x - 6 \sin x \cos x = 0 $$ $$ -\sin x (\sin x + 6 \cos x) = 0 $$ Получаем два случая: 1) $\sin x = 0 \implies x = \pi k, \; k \in \mathbb{Z}$. С учетом условия $\cos x \ge 0$, выбираем точки, лежащие на правой полуокружности: $$ x = 2\pi k, \; k \in \mathbb{Z} $$ 2) $\sin x + 6 \cos x = 0$. Если $\cos x = 0$, то и $\sin x = 0$, что невозможно в силу основного тригонометрического тождества. Разделим обе части на $\cos x \neq 0$: $$ \operatorname{tg} x + 6 = 0 \implies \operatorname{tg} x = -6 $$ Так как по условию $\cos x \ge 0$, а $\operatorname{tg} x < 0$, угол $x$ лежит в IV координатной четверти: $$ x = -\operatorname{arctg} 6 + 2\pi n, \; n \in \mathbb{Z} $$ **Ответ к пункту а:** $a = 1$; корни: $x = 2\pi k, \; k \in \mathbb{Z}$; $x = -\operatorname{arctg} 6 + 2\pi n, \; n \in \mathbb{Z}$. --- б) Найдем значение параметра $a$, при котором число $-\frac{\pi}{2}$ является корнем уравнения: $$ \sqrt{2 \sin 2x - a \cos 2x} = -\sin x $$ Подставим $x = -\frac{\pi}{2}$ в уравнение: $$ \sqrt{2 \sin(-\pi) - a \cos(-\pi)} = -\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) $$ Так как $\sin(-\pi) = 0$, $\cos(-\pi) = -1$ и $\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -1$, получаем: $$ \sqrt{2 \cdot 0 - a \cdot (-1)} = -(-1) $$ $$ \sqrt{a} = 1 \implies a = 1 $$ При $a = 1$ решим уравнение: $$ \sqrt{2 \sin 2x - \cos 2x} = -\sin x $$ Уравнение равносильно системе: $$ \begin{cases} -\sin x \ge 0, \\ 2 \sin 2x - \cos 2x = (-\sin x)^2 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} \sin x \le 0, \\ 2 \sin 2x - \cos 2x = \sin^2 x \end{cases} $$ Преобразуем уравнение, используя формулы $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$, $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$ и $1 = \sin^2 x + \cos^2 x$: $$ 4 \sin x \cos x - (1 - 2\sin^2 x) - \sin^2 x = 0 $$ $$ 4 \sin x \cos x - 1 + \sin^2 x = 0 $$ $$ 4 \sin x \cos x - (\sin^2 x + \cos^2 x) + \sin^2 x = 0 $$ $$ 4 \sin x \cos x - \cos^2 x = 0 $$ $$ \cos x (4 \sin x - \cos x) = 0 $$ Получаем два случая: 1) $\cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \; k \in \mathbb{Z}$. С учетом условия $\sin x \le 0$, выбираем нижнюю точку единичной окружности: $$ x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \; k \in \mathbb{Z} $$ 2) $4 \sin x - \cos x = 0$. Если $\cos x = 0$, то $\sin x = 0$, что противоречит основному тригонометрическому тождеству. Разделим обе части на $\cos x \neq 0$: $$ 4 \operatorname{tg} x - 1 = 0 \implies \operatorname{tg} x = \frac{1}{4} $$ Так как $\operatorname{tg} x > 0$ и по условию $\sin x \le 0$, угол $x$ лежит в III координатной четверти ($\sin x < 0$, $\cos x < 0$): $$ x = -\pi + \operatorname{arctg}\frac{1}{4} + 2\pi n, \; n \in \mathbb{Z} $$ **Ответ к пункту б:** $a = 1$; корни: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \; k \in \mathbb{Z}$; $x = -\pi + \operatorname{arctg}\frac{1}{4} + 2\pi n, \; n \in \mathbb{Z}$.