ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 15 - 33

**а)** Дано уравнение: $$ x^2 - (3a - 1)|x| + 2a^2 - a = 0 $$ Так как $x^2 = |x|^2$, сделаем замену переменной $t = |x|$, где $t \ge 0$. Получаем квадратное уравнение относительно $t$: $$ t^2 - (3a - 1)t + 2a^2 - a = 0 $$ Каждому положительному корню $t > 0$ соответствуют два различных значения переменной $x$ ($x = \pm t$). Значению $t = 0$ соответствует одно значение $x = 0$. При $t < 0$ решений нет. Следовательно, исходное уравнение имеет ровно $4$ различных корня тогда и только тогда, когда квадратное уравнение относительно $t$ имеет два различных строго положительных корня ($t_1 > 0$, $t_2 > 0$ и $t_1 \ne t_2$). Найдем дискриминант уравнения относительно $t$: $$ D = (3a - 1)^2 - 4(2a^2 - a) = 9a^2 - 6a + 1 - 8a^2 + 4a = a^2 - 2a + 1 = (a - 1)^2 $$ Корни уравнения равны: $$ t = \frac{(3a - 1) \pm (a - 1)}{2} $$ $$ t_1 = \frac{3a - 1 - (a - 1)}{2} = \frac{2a}{2} = a $$ $$ t_2 = \frac{3a - 1 + (a - 1)}{2} = \frac{4a - 2}{2} = 2a - 1 $$ Для того чтобы уравнение имело два различных положительных корня, должны одновременно выполняться условия: $$ \begin{cases} t_1 > 0 \\ t_2 > 0 \\ t_1 \ne t_2 \end{cases} \iff \begin{cases} a > 0 \\ 2a - 1 > 0 \\ a \ne 2a - 1 \end{cases} \iff \begin{cases} a > 0 \\ a > \frac{1}{2} \\ a \ne 1 \end{cases} $$ Пересекая полученные неравенства, находим: $$ a \in \left(\frac{1}{2}; 1\right) \cup (1; +\infty) $$ Ответ к пункту а: $a \in \left(\frac{1}{2}; 1\right) \cup (1; +\infty)$. --- **б)** Дано уравнение: $$ x^2 - (4a - 2)|x| + 3a^2 - 2a = 0 $$ Сделаем замену $t = |x|$, где $t \ge 0$. Получаем квадратное уравнение: $$ t^2 - (4a - 2)t + 3a^2 - 2a = 0 $$ Найдем дискриминант этого уравнения: $$ D = (4a - 2)^2 - 4(3a^2 - 2a) = 16a^2 - 16a + 4 - 12a^2 + 8a = 4a^2 - 8a + 4 = 4(a - 1)^2 $$ Тогда корни равны: $$ t = \frac{(4a - 2) \pm 2(a - 1)}{2} = (2a - 1) \pm (a - 1) $$ $$ t_1 = (2a - 1) - (a - 1) = a $$ $$ t_2 = (2a - 1) + (a - 1) = 3a - 2 $$ Исходное уравнение имеет ровно два различных корня относительно $x$ в следующих случаях: 1. **Уравнение относительно $t$ имеет один положительный корень кратности 2:** Это происходит при $D = 0$: $$ a - 1 = 0 \iff a = 1 $$ При $a = 1$ корни совпадают: $t_1 = t_2 = 1 > 0$. Тогда $|x| = 1 \implies x = \pm 1$ — ровно два различных корня. Значит, $a = 1$ подходит. 2. **Один из корней $t$ строго положителен, а второй строго отрицателен:** Положительный корень $t$ дает два корня по $x$, а отрицательный корней не дает. Это условие означает, что произведение корней отрицательно: $$ t_1 t_2 < 0 \iff a(3a - 2) < 0 $$ Решая методом интервалов, получаем: $$ a \in \left(0; \frac{2}{3}\right) $$ 3. **Один из корней равен нулю, а второй не равен нулю:** - Если $t_1 = 0$, то есть $a = 0$: Тогда $t_2 = 3(0) - 2 = -2 < 0$. Уравнение $|x| = 0$ дает один корень ($x = 0$), а уравнение $|x| = -2$ не имеет корней. Всего получается один корень $x = 0$, что не удовлетворяет условию (нужно два корня). - Если $t_2 = 0$, то есть $3a - 2 = 0 \iff a = \frac{2}{3}$: Тогда $t_1 = \frac{2}{3} > 0$. Уравнение $|x| = 0$ дает один корень ($x = 0$), а уравнение $|x| = \frac{2}{3}$ дает два корня ($x = \pm \frac{2}{3}$). Всего получается три различных корня, что также не удовлетворяет условию задачи. Объединяя подходящие значения из случаев 1 и 2, получаем: $$ a \in \left(0; \frac{2}{3}\right) \cup \{1\} $$ Ответ к пункту б: $a \in \left(0; \frac{2}{3}\right) \cup \{1\}$.