ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 15 - 31

а) Рассмотрим уравнение $x + 2 = a|x - 1|$. Раскроем знак модуля по определению, рассмотрев два случая: $x \ge 1$ и $x < 1$. 1. Пусть $x \ge 1$. Тогда $|x - 1| = x - 1$, и уравнение принимает вид: $$ x + 2 = a(x - 1) $$ $$ (a - 1)x = a + 2 $$ - При $a = 1$ получаем $0 \cdot x = 3$, что не имеет решений. - При $a \neq 1$ находим корень: $$ x = \frac{a + 2}{a - 1} $$ Проверим условие $x \ge 1$: $$ \frac{a + 2}{a - 1} \ge 1 \iff \frac{a + 2 - (a - 1)}{a - 1} \ge 0 \iff \frac{3}{a - 1} \ge 0 \iff a > 1 $$ Таким образом, на промежутке $[1; +\infty)$ уравнение: - не имеет решений при $a \le 1$; - имеет единственное решение $x = \frac{a + 2}{a - 1}$ при $a > 1$. 2. Пусть $x < 1$. Тогда $|x - 1| = -(x - 1) = 1 - x$, и уравнение принимает вид: $$ x + 2 = a(1 - x) $$ $$ (a + 1)x = a - 2 $$ - При $a = -1$ получаем $0 \cdot x = -3$, что не имеет решений. - При $a \neq -1$ находим корень: $$ x = \frac{a - 2}{a + 1} $$ Проверим условие $x < 1$: $$ \frac{a - 2}{a + 1} < 1 \iff \frac{a - 2 - (a + 1)}{a + 1} < 0 \iff \frac{-3}{a + 1} < 0 \iff a + 1 > 0 \iff a > -1 $$ Таким образом, на промежутке $(-\infty; 1)$ уравнение: - не имеет решений при $a \le -1$; - имеет единственное решение $x = \frac{a - 2}{a + 1}$ при $a > -1$. Объединим результаты: - при $a \le -1$ уравнение решений не имеет; - при $-1 < a \le 1$ уравнение имеет единственное решение $x = \frac{a - 2}{a + 1}$; - при $a > 1$ уравнение имеет два различных решения: $x_1 = \frac{a - 2}{a + 1}$ и $x_2 = \frac{a + 2}{a - 1}$. Следовательно, уравнение имеет единственное решение при $a \in (-1; 1]$, и это решение $x = \frac{a - 2}{a + 1}$. --- б) Рассмотрим уравнение $a|x - 3| = x + 1$. Раскроем знак модуля, рассмотрев два случая: $x \ge 3$ и $x < 3$. 1. Пусть $x \ge 3$. Тогда $|x - 3| = x - 3$, и уравнение принимает вид: $$ a(x - 3) = x + 1 $$ $$ (a - 1)x = 3a + 1 $$ - При $a = 1$ получаем $0 \cdot x = 4$, что не имеет решений. - При $a \neq 1$ находим корень: $$ x = \frac{3a + 1}{a - 1} $$ Проверим условие $x \ge 3$: $$ \frac{3a + 1}{a - 1} \ge 3 \iff \frac{3a + 1 - 3(a - 1)}{a - 1} \ge 0 \iff \frac{4}{a - 1} \ge 0 \iff a > 1 $$ Таким образом, на промежутке $[3; +\infty)$ уравнение: - не имеет решений при $a \le 1$; - имеет единственное решение $x = \frac{3a + 1}{a - 1}$ при $a > 1$. 2. Пусть $x < 3$. Тогда $|x - 3| = -(x - 3) = 3 - x$, и уравнение принимает вид: $$ a(3 - x) = x + 1 $$ $$ (a + 1)x = 3a - 1 $$ - При $a = -1$ получаем $0 \cdot x = -4$, что не имеет решений. - При $a \neq -1$ находим корень: $$ x = \frac{3a - 1}{a + 1} $$ Проверим условие $x < 3$: $$ \frac{3a - 1}{a + 1} < 3 \iff \frac{3a - 1 - 3(a + 1)}{a + 1} < 0 \iff \frac{-4}{a + 1} < 0 \iff a + 1 > 0 \iff a > -1 $$ Таким образом, на промежутке $(-\infty; 3)$ уравнение: - не имеет решений при $a \le -1$; - имеет единственное решение $x = \frac{3a - 1}{a + 1}$ при $a > -1$. Объединим результаты: - при $a \le -1$ уравнение решений не имеет; - при $-1 < a \le 1$ уравнение имеет единственное решение $x = \frac{3a - 1}{a + 1}$; - при $a > 1$ уравнение имеет два различных решения: $x_1 = \frac{3a - 1}{a + 1}$ и $x_2 = \frac{3a + 1}{a - 1}$. Следовательно, уравнение имеет единственное решение при $a \in (-1; 1]$, и это решение $x = \frac{3a - 1}{a + 1}$. **Ответ:** а) при $a \in (-1; 1]$, решение $x = \frac{a - 2}{a + 1}$; б) при $a \in (-1; 1]$, решение $x = \frac{3a - 1}{a + 1}$.