ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 15 - 30

а) Дано уравнение: $$ 2 \sin 2x = \frac{a-1}{a+3}, \quad a \neq -3 $$ Разделим обе части уравнения на $2$: $$ \sin 2x = \frac{a-1}{2(a+3)} $$ Так как область значений функции $y = \sin 2x$ есть отрезок $[-1; 1]$, то уравнение не имеет корней тогда и только тогда, когда значение дроби по модулю строго больше $1$: $$ \left| \frac{a-1}{2(a+3)} \right| > 1 $$ Данное неравенство равносильно совокупности двух неравенств: $$ \left[ \begin{aligned} \frac{a-1}{2(a+3)} &> 1 \\ \frac{a-1}{2(a+3)} &< -1 \end{aligned} \right. $$ Решим первое неравенство: $$ \frac{a-1}{2(a+3)} - 1 > 0 \iff \frac{a-1-2(a+3)}{2(a+3)} > 0 \iff \frac{-a-7}{2(a+3)} > 0 $$ Умножим обе части на $-2$, изменив знак неравенства: $$ \frac{a+7}{a+3} < 0 $$ Применяя метод интервалов, получаем: $a \in (-7; -3)$. Решим второе неравенство: $$ \frac{a-1}{2(a+3)} + 1 < 0 \iff \frac{a-1+2(a+3)}{2(a+3)} < 0 \iff \frac{3a+5}{2(a+3)} < 0 $$ Умножим обе части на $2$: $$ \frac{3a+5}{a+3} < 0 $$ Применяя метод интервалов, получаем: $a \in \left(-3; -\frac{5}{3}\right)$. Объединяя решения, получаем: $$ a \in (-7; -3) \cup \left(-3; -\frac{5}{3}\right) $$ Ответ к пункту а): $a \in (-7; -3) \cup \left(-3; -\frac{5}{3}\right)$. --- б) Дано уравнение: $$ 3 \cos x = \frac{a+5}{a-2}, \quad a \neq 2 $$ Разделим обе части уравнения на $3$: $$ \cos x = \frac{a+5}{3(a-2)} $$ Так как область значений функции $y = \cos x$ есть отрезок $[-1; 1]$, то уравнение не имеет корней тогда и только тогда, когда: $$ \left| \frac{a+5}{3(a-2)} \right| > 1 $$ Данное неравенство равносильно совокупности двух неравенств: $$ \left[ \begin{aligned} \frac{a+5}{3(a-2)} &> 1 \\ \frac{a+5}{3(a-2)} &< -1 \end{aligned} \right. $$ Решим первое неравенство: $$ \frac{a+5}{3(a-2)} - 1 > 0 \iff \frac{a+5-3(a-2)}{3(a-2)} > 0 \iff \frac{-2a+11}{3(a-2)} > 0 $$ Умножим обе части на $-3$, изменив знак неравенства: $$ \frac{2a-11}{a-2} < 0 $$ Применяя метод интервалов, получаем: $a \in \left(2; \frac{11}{2}\right)$, то есть $a \in (2; 5{,}5)$. Решим второе неравенство: $$ \frac{a+5}{3(a-2)} + 1 < 0 \iff \frac{a+5+3(a-2)}{3(a-2)} < 0 \iff \frac{4a-1}{3(a-2)} < 0 $$ Умножим обе части на $3$: $$ \frac{4a-1}{a-2} < 0 $$ Применяя метод интервалов, получаем: $a \in \left(\frac{1}{4}; 2\right)$, то есть $a \in (0{,}25; 2)$. Объединяя решения, получаем: $$ a \in \left(\frac{1}{4}; 2\right) \cup \left(2; \frac{11}{2}\right) $$ Ответ к пункту б): $a \in \left(\frac{1}{4}; 2\right) \cup \left(2; \frac{11}{2}\right)$.