ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 15 - 28

**а)** Рассмотрим систему уравнений: $$ \left\{ \begin{array}{l} \sin 2x \cos y = -a^2 - 1, \\ \sin y \cos 2x = a. \end{array} \right. $$ Оценим левую и правую части первого уравнения. Для любых действительных $x$ и $y$ справедливы неравенства $|\sin 2x| \le 1$ и $|\cos y| \le 1$, откуда следует: $$ \sin 2x \cos y \ge -1. $$ Для правой части первого уравнения при любом $a \in \mathbb{R}$ выполнено $a^2 \ge 0$, поэтому: $$ -a^2 - 1 \le -1. $$ Равенство в первом уравнении возможно тогда и только тогда, когда обе части одновременно равны $-1$: $$ -a^2 - 1 = -1 \iff a^2 = 0 \iff a = 0. $$ Таким образом, при $a \ne 0$ система решений не имеет. При $a = 0$ система принимает вид: $$ \left\{ \begin{array}{l} \sin 2x \cos y = -1, \\ \sin y \cos 2x = 0. \end{array} \right. $$ Так как $|\sin 2x| \le 1$ и $|\cos y| \le 1$, произведение $\sin 2x \cos y$ может быть равно $-1$ только в двух случаях: 1) $\left\{ \begin{array}{l} \sin 2x = 1, \\ \cos y = -1. \end{array} \right.$ Из основного тригонометрического тождества получаем: $$ \cos 2x = 0, \quad \sin y = 0. $$ Тогда второе уравнение $\sin y \cos 2x = 0 \cdot 0 = 0$ выполняется. Найдём $x$ и $y$: $$ 2x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}, $$ $$ y = \pi + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}. $$ 2) $\left\{ \begin{array}{l} \sin 2x = -1, \\ \cos y = 1. \end{array} \right.$ Аналогично получаем: $$ \cos 2x = 0, \quad \sin y = 0. $$ Второе уравнение $\sin y \cos 2x = 0$ также выполняется. Найдём $x$ и $y$: $$ 2x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k \implies x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}, $$ $$ y = 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}. $$ **Ответ к пункту а):** при $a = 0$: $\left(\frac{\pi}{4} + \pi k;\, \pi + 2\pi n\right)$, $\left(-\frac{\pi}{4} + \pi k;\, 2\pi n\right)$, где $k, n \in \mathbb{Z}$; при $a \ne 0$ решений нет. --- **б)** Рассмотрим систему уравнений: $$ \left\{ \begin{array}{l} \sin 3x \cos 2y = -a^2 - 1, \\ \sin 2y \cos 3x = a + 1. \end{array} \right. $$ Вычтем из первого уравнения второе: $$ \sin 3x \cos 2y - \cos 3x \sin 2y = -a^2 - 1 - (a + 1). $$ Применим формулу синуса разности в левой части: $$ \sin(3x - 2y) = -a^2 - a - 2. $$ Преобразуем правую часть, выделив полный квадрат: $$ -a^2 - a - 2 = -\left(a^2 + a + \frac{1}{4}\right) - \frac{7}{4} = -\left(a + \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{7}{4}. $$ Так как $\left(a + \frac{1}{2}\right)^2 \ge 0$ при всех $a \in \mathbb{R}$, то: $$ -\left(a + \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{7}{4} \le -\frac{7}{4} < -1. $$ Однако для любого значения аргумента синус ограничен: $$ \sin(3x - 2y) \ge -1. $$ Значит, равенство $\sin(3x - 2y) = -a^2 - a - 2$ невозможно ни при каких действительных значениях переменной и параметра $a$. Следовательно, система не имеет решений при любых значениях $a$. **Ответ к пункту б):** решений нет при любых $a \in \mathbb{R}$.