ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 15 - 29

**а)** Рассмотрим второе уравнение системы: $$ 3 \sin \frac{x}{2} + \cos y = 4 $$ Так как для любых значений $x$ и $y$ справедливы неравенства $\sin \frac{x}{2} \le 1$ и $\cos y \le 1$, то: $$ 3 \sin \frac{x}{2} + \cos y \le 3 \cdot 1 + 1 = 4 $$ Равенство достигается тогда и только тогда, когда одновременно выполняются условия: $$ \begin{cases} \sin \frac{x}{2} = 1 \\ \cos y = 1 \end{cases} $$ Подставим эти значения в первое уравнение исходной системы: $$ (a^2 - a) \cdot 1 + 2 \cdot 1 = a + 5 $$ $$ a^2 - a + 2 = a + 5 $$ $$ a^2 - 2a - 3 = 0 $$ По теореме Виета корни этого уравнения: $$ a_1 = -1, \quad a_2 = 3 $$ Следовательно, система имеет решения только при $a = -1$ и $a = 3$. Найдем эти решения: $$ \sin \frac{x}{2} = 1 \implies \frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \implies x = \pi + 4\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ $$ \cos y = 1 \implies y = 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ **Ответ:** при $a = -1$ и $a = 3$: $x = \pi + 4\pi k, \; k \in \mathbb{Z}$; $y = 2\pi n, \; n \in \mathbb{Z}$; при $a \ne -1$ и $a \ne 3$ решений нет. --- **б)** Рассмотрим второе уравнение системы: $$ 3 \sin \frac{y}{2} + \cos x = -4 $$ Так как для любых значений $x$ и $y$ справедливы неравенства $\sin \frac{y}{2} \ge -1$ и $\cos x \ge -1$, то: $$ 3 \sin \frac{y}{2} + \cos x \ge 3 \cdot (-1) + (-1) = -4 $$ Равенство достигается тогда и только тогда, когда одновременно выполняются условия: $$ \begin{cases} \sin \frac{y}{2} = -1 \\ \cos x = -1 \end{cases} $$ Подставим эти значения в первое уравнение исходной системы: $$ (a^2 + a) \cdot (-1) + 2 \cdot (-1) = 3a + 1 $$ $$ -a^2 - a - 2 = 3a + 1 $$ $$ a^2 + 4a + 3 = 0 $$ По теореме Виета корни этого уравнения: $$ a_1 = -3, \quad a_2 = -1 $$ Следовательно, система имеет решения только при $a = -3$ и $a = -1$. Найдем эти решения: $$ \cos x = -1 \implies x = \pi + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ $$ \sin \frac{y}{2} = -1 \implies \frac{y}{2} = -\frac{\pi}{2} + 2\pi m \implies y = -\pi + 4\pi m, \quad m \in \mathbb{Z} $$ **Ответ:** при $a = -3$ и $a = -1$: $x = \pi + 2\pi k, \; k \in \mathbb{Z}$; $y = -\pi + 4\pi m, \; m \in \mathbb{Z}$; при $a \ne -3$ и $a \ne -1$ решений нет.