ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 15 - 27

**а)** Решим систему уравнений: $$ \begin{cases} x^2 + y^2 = a \\ x + y = -1 \end{cases} $$ Выразим $y$ из второго уравнения: $$ y = -x - 1 $$ Подставим полученное выражение в первое уравнение системы: $$ x^2 + (-x - 1)^2 = a $$ $$ x^2 + x^2 + 2x + 1 = a $$ $$ 2x^2 + 2x + 1 - a = 0 $$ Получили квадратное уравнение относительно $x$. Найдем его дискриминант: $$ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 2 \cdot (1 - a) = 4 - 8 + 8a = 8a - 4 = 4(2a - 1) $$ Исследуем количество решений в зависимости от значения параметра $a$: 1. Если $D < 0$, то есть $2a - 1 < 0 \iff a < 0{,}5$, уравнение не имеет действительных корней, а значит, система не имеет решений. 2. Если $D = 0$, то есть $2a - 1 = 0 \iff a = 0{,}5$: $$ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot 2} = -\frac{1}{2} $$ Найдем значение $y$: $$ y = -x - 1 = -\left(-\frac{1}{2}\right) - 1 = -\frac{1}{2} $$ Система имеет единственное решение: $\left(-\frac{1}{2}; -\frac{1}{2}\right)$. 3. Если $D > 0$, то есть $2a - 1 > 0 \iff a > 0{,}5$: $$ x_{1, 2} = \frac{-2 \pm \sqrt{4(2a - 1)}}{2 \cdot 2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{2a - 1}}{4} = \frac{-1 \pm \sqrt{2a - 1}}{2} $$ Найдем соответствующие значения $y$: $$ y_1 = -x_1 - 1 = -\frac{-1 + \sqrt{2a - 1}}{2} - 1 = \frac{1 - \sqrt{2a - 1} - 2}{2} = \frac{-1 - \sqrt{2a - 1}}{2} $$ $$ y_2 = -x_2 - 1 = -\frac{-1 - \sqrt{2a - 1}}{2} - 1 = \frac{1 + \sqrt{2a - 1} - 2}{2} = \frac{-1 + \sqrt{2a - 1}}{2} $$ Ответ к пункту а: - при $a < 0{,}5$ решений нет; - при $a = 0{,}5$ решение $\left(-\frac{1}{2}; -\frac{1}{2}\right)$; - при $a > 0{,}5$ два решения: $\left(\frac{-1 + \sqrt{2a - 1}}{2}; \frac{-1 - \sqrt{2a - 1}}{2}\right)$, $\left(\frac{-1 - \sqrt{2a - 1}}{2}; \frac{-1 + \sqrt{2a - 1}}{2}\right)$. --- **б)** Решим систему уравнений: $$ \begin{cases} x^2 + y^2 = a \\ x - y = -1 \end{cases} $$ Выразим $y$ из второго уравнения: $$ y = x + 1 $$ Подставим полученное выражение в первое уравнение системы: $$ x^2 + (x + 1)^2 = a $$ $$ x^2 + x^2 + 2x + 1 = a $$ $$ 2x^2 + 2x + 1 - a = 0 $$ Дискриминант полученного квадратного уравнения: $$ D = 2^2 - 4 \cdot 2 \cdot (1 - a) = 4(2a - 1) $$ Исследуем количество решений в зависимости от значения параметра $a$: 1. Если $D < 0$, то есть $a < 0{,}5$, уравнение не имеет действительных корней, и система не имеет решений. 2. Если $D = 0$, то есть $a = 0{,}5$: $$ x = -\frac{2}{2 \cdot 2} = -\frac{1}{2} $$ Найдем значение $y$: $$ y = x + 1 = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2} $$ Система имеет единственное решение: $\left(-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}\right)$. 3. Если $D > 0$, то есть $a > 0{,}5$: $$ x_{1, 2} = \frac{-1 \pm \sqrt{2a - 1}}{2} $$ Найдем соответствующие значения $y$: $$ y_1 = x_1 + 1 = \frac{-1 + \sqrt{2a - 1}}{2} + 1 = \frac{1 + \sqrt{2a - 1}}{2} $$ $$ y_2 = x_2 + 1 = \frac{-1 - \sqrt{2a - 1}}{2} + 1 = \frac{1 - \sqrt{2a - 1}}{2} $$ Ответ к пункту б: - при $a < 0{,}5$ решений нет; - при $a = 0{,}5$ решение $\left(-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}\right)$; - при $a > 0{,}5$ два решения: $\left(\frac{-1 + \sqrt{2a - 1}}{2}; \frac{1 + \sqrt{2a - 1}}{2}\right)$, $\left(\frac{-1 - \sqrt{2a - 1}}{2}; \frac{1 - \sqrt{2a - 1}}{2}\right)$.