ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 15 - 26

**а)** Решим систему уравнений методом подстановки: $$ \begin{cases} x^2 + y^2 = a \\ x + y = 1 \end{cases} $$ Выразим $y$ из второго уравнения: $$ y = 1 - x $$ Подставим полученное выражение в первое уравнение: $$ x^2 + (1 - x)^2 = a $$ $$ x^2 + 1 - 2x + x^2 = a $$ $$ 2x^2 - 2x + 1 - a = 0 $$ Получили квадратное уравнение относительно $x$. Найдем его дискриминант: $$ D = (-2)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (1 - a) = 4 - 8 + 8a = 8a - 4 = 4(2a - 1) $$ Исследуем количество решений в зависимости от значения параметра $a$: 1. Если $D < 0$, то есть $2a - 1 < 0 \iff a < \frac{1}{2}$, уравнение не имеет действительных корней, а значит, система не имеет решений. 2. Если $D = 0$, то есть $a = \frac{1}{2}$: $$ x = \frac{2}{2 \cdot 2} = \frac{1}{2} $$ Найдем соответствующее значение $y$: $$ y = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} $$ Система имеет единственное решение: $\left(\frac{1}{2}; \frac{1}{2}\right)$. 3. Если $D > 0$, то есть $a > \frac{1}{2}$, уравнение имеет два различных корня: $$ x_{1, 2} = \frac{2 \pm \sqrt{4(2a - 1)}}{2 \cdot 2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2a - 1}}{4} = \frac{1 \pm \sqrt{2a - 1}}{2} $$ Найдем соответствующие значения $y$: Если $x_1 = \frac{1 + \sqrt{2a - 1}}{2}$, то: $$ y_1 = 1 - \frac{1 + \sqrt{2a - 1}}{2} = \frac{1 - \sqrt{2a - 1}}{2} $$ Если $x_2 = \frac{1 - \sqrt{2a - 1}}{2}$, то: $$ y_2 = 1 - \frac{1 - \sqrt{2a - 1}}{2} = \frac{1 + \sqrt{2a - 1}}{2} $$ **Ответ к пункту а:** - при $a < \frac{1}{2}$ решений нет; - при $a = \frac{1}{2}$ решение $\left(\frac{1}{2}; \frac{1}{2}\right)$; - при $a > \frac{1}{2}$ решения $\left(\frac{1 + \sqrt{2a - 1}}{2}; \frac{1 - \sqrt{2a - 1}}{2}\right)$, $\left(\frac{1 - \sqrt{2a - 1}}{2}; \frac{1 + \sqrt{2a - 1}}{2}\right)$. --- **б)** Решим систему уравнений методом подстановки: $$ \begin{cases} x^2 + y^2 = a \\ x - y = 1 \end{cases} $$ Выразим $y$ из второго уравнения: $$ y = x - 1 $$ Подставим полученное выражение в первое уравнение: $$ x^2 + (x - 1)^2 = a $$ $$ x^2 + x^2 - 2x + 1 = a $$ $$ 2x^2 - 2x + 1 - a = 0 $$ Найдем дискриминант полученного квадратного уравнения: $$ D = (-2)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (1 - a) = 4 - 8 + 8a = 4(2a - 1) $$ Исследуем количество решений в зависимости от значения параметра $a$: 1. Если $D < 0$, то есть $a < \frac{1}{2}$, уравнение не имеет корней, и система не имеет решений. 2. Если $D = 0$, то есть $a = \frac{1}{2}$: $$ x = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $$ Найдем соответствующее значение $y$: $$ y = \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2} $$ Система имеет единственное решение: $\left(\frac{1}{2}; -\frac{1}{2}\right)$. 3. Если $D > 0$, то есть $a > \frac{1}{2}$, уравнение имеет два различных корня: $$ x_{1, 2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2a - 1}}{4} = \frac{1 \pm \sqrt{2a - 1}}{2} $$ Найдем соответствующие значения $y$: Если $x_1 = \frac{1 + \sqrt{2a - 1}}{2}$, то: $$ y_1 = \frac{1 + \sqrt{2a - 1}}{2} - 1 = \frac{-1 + \sqrt{2a - 1}}{2} $$ Если $x_2 = \frac{1 - \sqrt{2a - 1}}{2}$, то: $$ y_2 = \frac{1 - \sqrt{2a - 1}}{2} - 1 = \frac{-1 - \sqrt{2a - 1}}{2} $$ **Ответ к пункту б:** - при $a < \frac{1}{2}$ решений нет; - при $a = \frac{1}{2}$ решение $\left(\frac{1}{2}; -\frac{1}{2}\right)$; - при $a > \frac{1}{2}$ решения $\left(\frac{1 + \sqrt{2a - 1}}{2}; \frac{-1 + \sqrt{2a - 1}}{2}\right)$, $\left(\frac{1 - \sqrt{2a - 1}}{2}; \frac{-1 - \sqrt{2a - 1}}{2}\right)$.