ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 15 - 25

а) Решим систему уравнений: $$ \begin{cases} (a-1)y = a^2 - 1, \\ x + y = a. \end{cases} $$ Преобразуем первое уравнение системы, разложив правую часть на множители: $$ (a - 1)y = (a - 1)(a + 1) $$ Исследуем количество решений в зависимости от значения параметра $a$: 1. Если $a - 1 \neq 0$, то есть $a \neq 1$, разделим обе части первого уравнения на $(a - 1)$: $$y = a + 1$$ Подставим полученное значение $y$ во второе уравнение: $$x + (a + 1) = a \implies x = a - a - 1 \implies x = -1$$ В этом случае система имеет единственное решение: $(-1; a + 1)$. 2. Если $a - 1 = 0$, то есть $a = 1$, подставим это значение в систему: $$ \begin{cases} 0 \cdot y = 0, \\ x + y = 1. \end{cases} $$ Первое равенство верно при любом значении $y \in \mathbb{R}$. Из второго уравнения выразим переменную $x$: $$x = 1 - y$$ В этом случае система имеет бесконечно много решений вида $(1 - y; y)$, где $y \in \mathbb{R}$. Ответ: при $a \neq 1$ единственное решение: $(-1; a + 1)$; при $a = 1$ бесконечно много решений: $(1 - y; y)$, где $y \in \mathbb{R}$. б) Решим систему уравнений: $$ \begin{cases} (a+1)y = a^2 - 1, \\ x + y = a. \end{cases} $$ Преобразуем первое уравнение системы: $$ (a + 1)y = (a - 1)(a + 1) $$ Исследуем систему при различных значениях параметра $a$: 1. Если $a + 1 \neq 0$, то есть $a \neq -1$, разделим обе части уравнения на $(a + 1)$: $$y = a - 1$$ Подставим найденный $y$ во второе уравнение: $$x + (a - 1) = a \implies x = a - a + 1 \implies x = 1$$ Система имеет единственное решение: $(1; a - 1)$. 2. Если $a + 1 = 0$, то есть $a = -1$, подставим это значение в систему: $$ \begin{cases} 0 \cdot y = 0, \\ x + y = -1. \end{cases} $$ Первое уравнение выполняется при любом значении $y \in \mathbb{R}$. Из второго уравнения получаем: $$x = -1 - y$$ Система имеет бесконечно много решений вида $(-1 - y; y)$, где $y \in \mathbb{R}$. Ответ: при $a \neq -1$ единственное решение: $(1; a - 1)$; при $a = -1$ бесконечно много решений: $(-1 - y; y)$, где $y \in \mathbb{R}$. в) Решим систему уравнений: $$ \begin{cases} (a-1)y = a^2 - 1, \\ x - y = a. \end{cases} $$ Преобразуем первое уравнение: $$ (a - 1)y = (a - 1)(a + 1) $$ 1. Если $a - 1 \neq 0$, то есть $a \neq 1$, разделим обе части на $(a - 1)$: $$y = a + 1$$ Подставим выражение для $y$ во второе уравнение: $$x - (a + 1) = a \implies x = a + a + 1 \implies x = 2a + 1$$ Система имеет единственное решение: $(2a + 1; a + 1)$. 2. Если $a - 1 = 0$, то есть $a = 1$, подставим это значение в систему: $$ \begin{cases} 0 \cdot y = 0, \\ x - y = 1. \end{cases} $$ Равенство $0 \cdot y = 0$ верно для любого $y \in \mathbb{R}$. Из второго уравнения: $$x = y + 1$$ Система имеет бесконечно много решений вида $(y + 1; y)$, где $y \in \mathbb{R}$. Ответ: при $a \neq 1$ единственное решение: $(2a + 1; a + 1)$; при $a = 1$ бесконечно много решений: $(y + 1; y)$, где $y \in \mathbb{R}$. г) Решим систему уравнений: $$ \begin{cases} (a+1)y = a^2 - 1, \\ x - y = a. \end{cases} $$ Преобразуем первое уравнение: $$ (a + 1)y = (a - 1)(a + 1) $$ 1. Если $a + 1 \neq 0$, то есть $a \neq -1$, разделим обе части на $(a + 1)$: $$y = a - 1$$ Подставим найденный $y$ во второе уравнение: $$x - (a - 1) = a \implies x = a + a - 1 \implies x = 2a - 1$$ Система имеет единственное решение: $(2a - 1; a - 1)$. 2. Если $a + 1 = 0$, то есть $a = -1$, подставим это значение в систему: $$ \begin{cases} 0 \cdot y = 0, \\ x - y = -1. \end{cases} $$ Первое уравнение обращается в тождество при любом $y \in \mathbb{R}$. Из второго уравнения: $$x = y - 1$$ Система имеет бесконечно много решений вида $(y - 1; y)$, где $y \in \mathbb{R}$. Ответ: при $a \neq -1$ единственное решение: $(2a - 1; a - 1)$; при $a = -1$ бесконечно много решений: $(y - 1; y)$, где $y \in \mathbb{R}$.