ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 15 - 24

**а)** $$ \begin{cases} (a - 1)y = a + 1 \\ x + y = a \end{cases} $$ Исследуем первое уравнение системы: $(a - 1)y = a + 1$. 1. Если $a - 1 = 0$, то есть $a = 1$, уравнение принимает вид: $$ 0 \cdot y = 1 + 1 \iff 0 = 2 $$ Получили неверное числовое равенство, следовательно, при $a = 1$ уравнение, а значит, и вся система, решений не имеет. 2. Если $a - 1 \ne 0$, то есть $a \ne 1$, то: $$ y = \frac{a + 1}{a - 1} $$ Подставим полученное выражение для $y$ во второе уравнение системы и найдем $x$: $$ x = a - y = a - \frac{a + 1}{a - 1} = \frac{a(a - 1) - (a + 1)}{a - 1} = \frac{a^2 - a - a - 1}{a - 1} = \frac{a^2 - 2a - 1}{a - 1} $$ **Ответ:** - при $a = 1$ решений нет; - при $a \ne 1$ единственное решение $\left(\dfrac{a^2 - 2a - 1}{a - 1}; \dfrac{a + 1}{a - 1}\right)$. --- **б)** $$ \begin{cases} (a + 1)y = a + 2 \\ x + y = a \end{cases} $$ Исследуем первое уравнение системы: $(a + 1)y = a + 2$. 1. Если $a + 1 = 0$, то есть $a = -1$, уравнение принимает вид: $$ 0 \cdot y = -1 + 2 \iff 0 = 1 $$ Равенство ложно, следовательно, при $a = -1$ система решений не имеет. 2. Если $a + 1 \ne 0$, то есть $a \ne -1$, то: $$ y = \frac{a + 2}{a + 1} $$ Выразим $x$ из второго уравнения системы: $$ x = a - y = a - \frac{a + 2}{a + 1} = \frac{a(a + 1) - (a + 2)}{a + 1} = \frac{a^2 + a - a - 2}{a + 1} = \frac{a^2 - 2}{a + 1} $$ **Ответ:** - при $a = -1$ решений нет; - при $a \ne -1$ единственное решение $\left(\dfrac{a^2 - 2}{a + 1}; \dfrac{a + 2}{a + 1}\right)$. --- **в)** $$ \begin{cases} (a - 1)y = a + 3 \\ x - y = a \end{cases} $$ Исследуем первое уравнение системы: $(a - 1)y = a + 3$. 1. Если $a - 1 = 0$, то есть $a = 1$, уравнение принимает вид: $$ 0 \cdot y = 1 + 3 \iff 0 = 4 $$ Равенство ложно, следовательно, при $a = 1$ система решений не имеет. 2. Если $a - 1 \ne 0$, то есть $a \ne 1$, то: $$ y = \frac{a + 3}{a - 1} $$ Выразим $x$ из второго уравнения системы: $$ x = a + y = a + \frac{a + 3}{a - 1} = \frac{a(a - 1) + (a + 3)}{a - 1} = \frac{a^2 - a + a + 3}{a - 1} = \frac{a^2 + 3}{a - 1} $$ **Ответ:** - при $a = 1$ решений нет; - при $a \ne 1$ единственное решение $\left(\dfrac{a^2 + 3}{a - 1}; \dfrac{a + 3}{a - 1}\right)$. --- **г)** $$ \begin{cases} (a + 1)y = a + 4 \\ x - y = a \end{cases} $$ Исследуем первое уравнение системы: $(a + 1)y = a + 4$. 1. Если $a + 1 = 0$, то есть $a = -1$, уравнение принимает вид: $$ 0 \cdot y = -1 + 4 \iff 0 = 3 $$ Равенство ложно, следовательно, при $a = -1$ система решений не имеет. 2. Если $a + 1 \ne 0$, то есть $a \ne -1$, то: $$ y = \frac{a + 4}{a + 1} $$ Выразим $x$ из второго уравнения системы: $$ x = a + y = a + \frac{a + 4}{a + 1} = \frac{a(a + 1) + (a + 4)}{a + 1} = \frac{a^2 + a + a + 4}{a + 1} = \frac{a^2 + 2a + 4}{a + 1} $$ **Ответ:** - при $a = -1$ решений нет; - при $a \ne -1$ единственное решение $\left(\dfrac{a^2 + 2a + 4}{a + 1}; \dfrac{a + 4}{a + 1}\right)$.