ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 15 - 23

### а) $\log_a(x-1) \geq 2 \log_a(3-x)$ По определению логарифма основание удовлетворяет условиям: $a > 0$, $a \neq 1$. Преобразуем правую часть неравенства: $2 \log_a(3-x) = \log_a(3-x)^2$. Найдём область допустимых значений (ОДЗ) неравенства: $$ \begin{cases} x - 1 > 0 \\ 3 - x > 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x > 1 \\ x < 3 \end{cases} \iff x \in (1; 3) $$ Рассмотрим два случая в зависимости от основания $a$: 1. Пусть $a > 1$. Функция $y = \log_a t$ возрастает, поэтому знак неравенства сохраняется: $$ x - 1 \geq (3 - x)^2 $$ $$ x - 1 \geq 9 - 6x + x^2 $$ $$ x^2 - 7x + 10 \leq 0 $$ $$ (x - 2)(x - 5) \leq 0 \iff 2 \leq x \leq 5 $$ С учётом ОДЗ ($1 < x < 3$): $$ x \in [2; 3) $$ 2. Пусть $0 < a < 1$. Функция $y = \log_a t$ убывает, знак неравенства меняется на противоположный: $$ x - 1 \leq (3 - x)^2 $$ $$ x^2 - 7x + 10 \geq 0 $$ $$ (x - 2)(x - 5) \geq 0 \iff x \leq 2 \text{ или } x \geq 5 $$ С учётом ОДЗ ($1 < x < 3$): $$ x \in (1; 2] $$ **Ответ:** при $a > 1$: $x \in [2; 3)$; при $0 < a < 1$: $x \in (1; 2]$. --- ### б) $\log_a(x-3) \geq 2 \log_a(5-x)$ Основание $a > 0$, $a \neq 1$. Преобразуем правую часть: $2 \log_a(5-x) = \log_a(5-x)^2$. Найдём ОДЗ: $$ \begin{cases} x - 3 > 0 \\ 5 - x > 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x > 3 \\ x < 5 \end{cases} \iff x \in (3; 5) $$ Рассмотрим два случая: 1. Пусть $a > 1$ (функция возрастает): $$ x - 3 \geq (5 - x)^2 $$ $$ x - 3 \geq 25 - 10x + x^2 $$ $$ x^2 - 11x + 28 \leq 0 $$ $$ (x - 4)(x - 7) \leq 0 \iff 4 \leq x \leq 7 $$ С учётом ОДЗ ($3 < x < 5$): $$ x \in [4; 5) $$ 2. Пусть $0 < a < 1$ (функция убывает): $$ x - 3 \leq (5 - x)^2 $$ $$ x^2 - 11x + 28 \geq 0 $$ $$ (x - 4)(x - 7) \geq 0 \iff x \leq 4 \text{ или } x \geq 7 $$ С учётом ОДЗ ($3 < x < 5$): $$ x \in (3; 4] $$ **Ответ:** при $a > 1$: $x \in [4; 5)$; при $0 < a < 1$: $x \in (3; 4]$. --- ### в) $\log_a(7-x) \geq 2 \log_a(x-5)$ Основание $a > 0$, $a \neq 1$. Преобразуем правую часть: $2 \log_a(x-5) = \log_a(x-5)^2$. Найдём ОДЗ: $$ \begin{cases} 7 - x > 0 \\ x - 5 > 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x < 7 \\ x > 5 \end{cases} \iff x \in (5; 7) $$ Рассмотрим два случая: 1. Пусть $a > 1$ (знак неравенства сохраняется): $$ 7 - x \geq (x - 5)^2 $$ $$ 7 - x \geq x^2 - 10x + 25 $$ $$ x^2 - 9x + 18 \leq 0 $$ $$ (x - 3)(x - 6) \leq 0 \iff 3 \leq x \leq 6 $$ С учётом ОДЗ ($5 < x < 7$): $$ x \in (5; 6] $$ 2. Пусть $0 < a < 1$ (знак неравенства меняется): $$ 7 - x \leq (x - 5)^2 $$ $$ x^2 - 9x + 18 \geq 0 $$ $$ (x - 3)(x - 6) \geq 0 \iff x \leq 3 \text{ или } x \geq 6 $$ С учётом ОДЗ ($5 < x < 7$): $$ x \in [6; 7) $$ **Ответ:** при $a > 1$: $x \in (5; 6]$; при $0 < a < 1$: $x \in [6; 7)$. --- ### г) $\log_a(13-x) \geq 2 \log_a(x-1)$ Основание $a > 0$, $a \neq 1$. Преобразуем правую часть: $2 \log_a(x-1) = \log_a(x-1)^2$. Найдём ОДЗ: $$ \begin{cases} 13 - x > 0 \\ x - 1 > 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x < 13 \\ x > 1 \end{cases} \iff x \in (1; 13) $$ Рассмотрим два случая: 1. Пусть $a > 1$ (знак неравенства сохраняется): $$ 13 - x \geq (x - 1)^2 $$ $$ 13 - x \geq x^2 - 2x + 1 $$ $$ x^2 - x - 12 \leq 0 $$ $$ (x - 4)(x + 3) \leq 0 \iff -3 \leq x \leq 4 $$ С учётом ОДЗ ($1 < x < 13$): $$ x \in (1; 4] $$ 2. Пусть $0 < a < 1$ (знак неравенства меняется): $$ 13 - x \leq (x - 1)^2 $$ $$ x^2 - x - 12 \geq 0 $$ $$ (x - 4)(x + 3) \geq 0 \iff x \leq -3 \text{ или } x \geq 4 $$ С учётом ОДЗ ($1 < x < 13$): $$ x \in [4; 13) $$ **Ответ:** при $a > 1$: $x \in (1; 4]$; при $0 < a < 1$: $x \in [4; 13)$.