ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 15 - 22

По определению логарифма основание должно удовлетворять условиям: $a > 0$ и $a \neq 1$. ### а) $\log_a(x-2) \geqslant \log_a(13-x)$ Найдём область допустимых значений (ОДЗ): $$ \begin{cases} x - 2 > 0 \\ 13 - x > 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x > 2 \\ x < 13 \end{cases} \iff x \in (2; 13) $$ Рассмотрим два случая в зависимости от основания $a$: 1. Если $a > 1$, то логарифмическая функция возрастает, и знак неравенства сохраняется: $$ \begin{cases} x - 2 \geqslant 13 - x \\ x < 13 \end{cases} \iff \begin{cases} 2x \geqslant 15 \\ x < 13 \end{cases} \iff \begin{cases} x \geqslant 7{,}5 \\ x < 13 \end{cases} $$ Получаем: $x \in [7{,}5; 13)$. 2. Если $0 < a < 1$, то логарифмическая функция убывает, и знак неравенства меняется на противоположный: $$ \begin{cases} x - 2 \leqslant 13 - x \\ x > 2 \end{cases} \iff \begin{cases} 2x \leqslant 15 \\ x > 2 \end{cases} \iff \begin{cases} x \leqslant 7{,}5 \\ x > 2 \end{cases} $$ Получаем: $x \in (2; 7{,}5]$. **Ответ:** при $a > 1$: $x \in [7{,}5; 13)$; при $0 < a < 1$: $x \in (2; 7{,}5]$. --- ### б) $\log_a(x-3) \geqslant \log_a(15-2x)$ Найдём ОДЗ: $$ \begin{cases} x - 3 > 0 \\ 15 - 2x > 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x > 3 \\ 2x < 15 \end{cases} \iff \begin{cases} x > 3 \\ x < 7{,}5 \end{cases} \iff x \in (3; 7{,}5) $$ Рассмотрим два случая в зависимости от основания $a$: 1. Если $a > 1$, то логарифмическая функция возрастает: $$ \begin{cases} x - 3 \geqslant 15 - 2x \\ x < 7{,}5 \end{cases} \iff \begin{cases} 3x \geqslant 18 \\ x < 7{,}5 \end{cases} \iff \begin{cases} x \geqslant 6 \\ x < 7{,}5 \end{cases} $$ Получаем: $x \in [6; 7{,}5)$. 2. Если $0 < a < 1$, то логарифмическая функция убывает: $$ \begin{cases} x - 3 \leqslant 15 - 2x \\ x > 3 \end{cases} \iff \begin{cases} 3x \leqslant 18 \\ x > 3 \end{cases} \iff \begin{cases} x \leqslant 6 \\ x > 3 \end{cases} $$ Получаем: $x \in (3; 6]$. **Ответ:** при $a > 1$: $x \in [6; 7{,}5)$; при $0 < a < 1$: $x \in (3; 6]$. --- ### в) $\log_a(4-x) \geqslant \log_a(3x-15)$ Найдём ОДЗ: $$ \begin{cases} 4 - x > 0 \\ 3x - 15 > 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x < 4 \\ 3x > 15 \end{cases} \iff \begin{cases} x < 4 \\ x > 5 \end{cases} $$ Данная система не имеет решений, так как нет чисел, которые одновременно меньше $4$ и больше $5$. Следовательно, ОДЗ неравенства пусто. **Ответ:** нет решений при любых допустимых $a$ ($a > 0, a \neq 1$). --- ### г) $\log_a(5-x) \geqslant \log_a(4x-35)$ Найдём ОДЗ: $$ \begin{cases} 5 - x > 0 \\ 4x - 35 > 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x < 5 \\ 4x > 35 \end{cases} \iff \begin{cases} x < 5 \\ x > 8{,}75 \end{cases} $$ Данная система не имеет решений, так как не существует значений $x$, удовлетворяющих обоим условиям одновременно. ОДЗ неравенства пусто. **Ответ:** нет решений при любых допустимых $a$ ($a > 0, a \neq 1$).