ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 15 - 17

### а) $\frac{x^2 - a^2}{x - 1} > 0$ Разложим числитель на множители: $$ \frac{(x - |a|)(x + |a|)}{x - 1} > 0 $$ Нулями числителя являются точки $x = |a|$ и $x = -|a|$, нулем знаменателя — точка $x = 1$. Расположение этих точек на числовой оси зависит от значения $|a|$. 1. Если $a = 0$, то неравенство принимает вид: $$ \frac{x^2}{x - 1} > 0 $$ Так как $x^2 > 0$ при всех $x \neq 0$, то $x - 1 > 0$ и $x \neq 0$, откуда $x > 1$. 2. Если $0 < |a| < 1$, то $-|a| < |a| < 1$. Применяя метод интервалов, получаем чередование знаков справа налево: $+$, $-$, $+$, $-$. Решением являются интервалы, где выражение положительно: $$ x \in (-|a|; |a|) \cup (1; +\infty) $$ 3. Если $|a| = 1$ (то есть $a = \pm 1$), то неравенство принимает вид: $$ \frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} > 0 $$ При $x \neq 1$ дробь сокращается: $x + 1 > 0 \implies x > -1$. С учётом $x \neq 1$: $$ x \in (-1; 1) \cup (1; +\infty) $$ 4. Если $|a| > 1$, то точки располагаются в порядке: $-|a| < 1 < |a|$. Методом интервалов находим: $$ x \in (-|a|; 1) \cup (|a|; +\infty) $$ **Ответ:** * при $a = 0$: $x \in (1; +\infty)$; * при $0 < |a| < 1$: $x \in (-|a|; |a|) \cup (1; +\infty)$; * при $|a| = 1$: $x \in (-1; 1) \cup (1; +\infty)$; * при $|a| > 1$: $x \in (-|a|; 1) \cup (|a|; +\infty)$. --- ### б) $\frac{x^2 - a^2}{x + 2} < 0$ Разложим числитель на множители: $$ \frac{(x - |a|)(x + |a|)}{x + 2} < 0 $$ Нули числителя: $x = |a|$ и $x = -|a|$; нуль знаменателя: $x = -2$. 1. Если $a = 0$, то неравенство имеет вид: $$ \frac{x^2}{x + 2} < 0 $$ Так как $x^2 \geqslant 0$, неравенство выполняется при $x + 2 < 0$ и $x \neq 0$, то есть $x < -2$. 2. Если $0 < |a| < 2$, то $-2 < -|a| < |a|$. По методу интервалов знаки справа налево: $+$, $-$, $+$, $-$. Выбираем промежутки со знаком «минус»: $$ x \in (-\infty; -2) \cup (-|a|; |a|) $$ 3. Если $|a| = 2$ (то есть $a = \pm 2$), то неравенство принимает вид: $$ \frac{(x - 2)(x + 2)}{x + 2} < 0 $$ При $x \neq -2$ получаем $x - 2 < 0 \implies x < 2$. С учётом $x \neq -2$: $$ x \in (-\infty; -2) \cup (-2; 2) $$ 4. Если $|a| > 2$, то $-|a| < -2 < |a|$. Методом интервалов получаем: $$ x \in (-\infty; -|a|) \cup (-2; |a|) $$ **Ответ:** * при $a = 0$: $x \in (-\infty; -2)$; * при $0 < |a| < 2$: $x \in (-\infty; -2) \cup (-|a|; |a|)$; * при $|a| = 2$: $x \in (-\infty; -2) \cup (-2; 2)$; * при $|a| > 2$: $x \in (-\infty; -|a|) \cup (-2; |a|)$. --- ### в) $\frac{x - 3}{x^2 - a^2} \geqslant 0$ Разложим знаменатель на множители: $$ \frac{x - 3}{(x - |a|)(x + |a|)} \geqslant 0 $$ Нуль числителя: $x = 3$ (входит в решение); нули знаменателя: $x = \pm |a|$ (не входят в решение). 1. Если $a = 0$, то неравенство имеет вид: $$ \frac{x - 3}{x^2} \geqslant 0 $$ Так как $x^2 > 0$ при $x \neq 0$, получаем $x - 3 \geqslant 0 \implies x \geqslant 3$. 2. Если $0 < |a| < 3$, то $-|a| < |a| < 3$. Знаки по методу интервалов справа налево: $+$, $-$, $+$, $-$. Выбираем промежутки, где выражение неотрицательно: $$ x \in (-|a|; |a|) \cup [3; +\infty) $$ 3. Если $|a| = 3$ (то есть $a = \pm 3$), то: $$ \frac{x - 3}{(x - 3)(x + 3)} \geqslant 0 $$ При $x \neq 3$ получаем $\frac{1}{x + 3} > 0 \implies x > -3$. С учётом $x \neq 3$: $$ x \in (-3; 3) \cup (3; +\infty) $$ 4. Если $|a| > 3$, то $-|a| < 3 < |a|$. По методу интервалов знаки справа налево: $+$, $-$, $+$, $-$. Следовательно: $$ x \in (-|a|; 3] \cup (|a|; +\infty) $$ **Ответ:** * при $a = 0$: $x \in [3; +\infty)$; * при $0 < |a| < 3$: $x \in (-|a|; |a|) \cup [3; +\infty)$; * при $|a| = 3$: $x \in (-3; 3) \cup (3; +\infty)$; * при $|a| > 3$: $x \in (-|a|; 3] \cup (|a|; +\infty)$. --- ### г) $\frac{x + 4}{x^2 - a^2} \leqslant 0$ Разложим знаменатель на множители: $$ \frac{x + 4}{(x - |a|)(x + |a|)} \leqslant 0 $$ Нуль числителя: $x = -4$ (входит в решение); нули знаменателя: $x = \pm |a|$ (не входят в решение). 1. Если $a = 0$, то неравенство принимает вид: $$ \frac{x + 4}{x^2} \leqslant 0 $$ Так как $x^2 > 0$ при $x \neq 0$, получаем $x + 4 \leqslant 0 \implies x \leqslant -4$. 2. Если $0 < |a| < 4$, то $-4 < -|a| < |a|$. Знаки по методу интервалов справа налево: $+$, $-$, $+$, $-$. Выбираем промежутки, где выражение неположительно: $$ x \in (-\infty; -4] \cup (-|a|; |a|) $$ 3. Если $|a| = 4$ (то есть $a = \pm 4$), то: $$ \frac{x + 4}{(x - 4)(x + 4)} \leqslant 0 $$ При $x \neq -4$ получаем $\frac{1}{x - 4} < 0 \implies x < 4$. С учётом $x \neq -4$: $$ x \in (-\infty; -4) \cup (-4; 4) $$ 4. Если $|a| > 4$, то $-|a| < -4 < |a|$. По методу интервалов получаем: $$ x \in (-\infty; -|a|) \cup [-4; |a|) $$ **Ответ:** * при $a = 0$: $x \in (-\infty; -4]$; * при $0 < |a| < 4$: $x \in (-\infty; -4] \cup (-|a|; |a|)$; * при $|a| = 4$: $x \in (-\infty; -4) \cup (-4; 4)$; * при $|a| > 4$: $x \in (-\infty; -|a|) \cup [-4; |a|)$.