ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 15 - 19

### а) $\frac{\sqrt{x-a}}{x-1} \geq 0$ Найдем область допустимых значений (ОДЗ): $$ \begin{cases} x - a \ge 0 \\ x - 1 \neq 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x \ge a \\ x \neq 1 \end{cases} $$ 1. Числитель дроби обращается в нуль при $x = a$. Если $a \neq 1$, то значение $x = a$ входит в ОДЗ и обращает дробь в нуль, удовлетворяя нестрогому неравенству. 2. При $x > a$ числитель строго положителен: $\sqrt{x - a} > 0$. Значит, знак дроби определяется знаком знаменателя: $$ x - 1 > 0 \iff x > 1 $$ Сравним параметр $a$ с числом $1$: 1) Если $a < 1$: Числитель равен нулю при $x = a$. При $x > 1$ дробь строго положительна. Решение: $x \in \{a\} \cup (1; +\infty)$. 2) Если $a = 1$: При $x = 1$ знаменатель равен нулю (значение не входит в ОДЗ). При $x > 1$ числитель и знаменатель положительны. Решение: $x \in (1; +\infty)$. 3) Если $a > 1$: Для всех $x \ge a$ знаменатель $x - 1 > 0$, а числитель $\sqrt{x - a} \ge 0$. Неравенство выполняется на всей ОДЗ. Решение: $x \in [a; +\infty)$. **Ответ:** при $a < 1$: $x \in \{a\} \cup (1; +\infty)$; при $a = 1$: $x \in (1; +\infty)$; при $a > 1$: $x \in [a; +\infty)$. --- ### б) $\frac{\sqrt{x-a}}{x+2} \leq 0$ Найдем ОДЗ: $$ \begin{cases} x \ge a \\ x \neq -2 \end{cases} $$ Так как $\sqrt{x - a} \ge 0$ при всех допустимых $x$, дробь может быть неположительной в двух случаях: 1. Числитель равен нулю: $\sqrt{x - a} = 0 \iff x = a$ (при условии $a \neq -2$). 2. Числитель положителен, а знаменатель отрицателен: $$ \begin{cases} x > a \\ x + 2 < 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x > a \\ x < -2 \end{cases} $$ Сравним параметр $a$ с числом $-2$: 1) Если $a < -2$: Система дает интервал $(a; -2)$. В точке $x = a$ дробь равна нулю ($a \neq -2$), поэтому точка $x = a$ включается в решение. Решение: $x \in [a; -2)$. 2) Если $a = -2$: При $x = -2$ знаменатель равен нулю. При $x > -2$ числитель и знаменатель положительны, поэтому решений нет. Решение: нет решений. 3) Если $a > -2$: Система $x > a$ и $x < -2$ не имеет решений, так как $a > -2$. Однако при $x = a$ числитель равен нулю, а знаменатель $a + 2 > 0$, то есть значение $x = a$ является решением. Решение: $x = a$. **Ответ:** при $a < -2$: $x \in [a; -2)$; при $a = -2$: нет решений; при $a > -2$: $x = a$. --- ### в) $\frac{x+3}{\sqrt{x-a}} \geq 0$ Найдем ОДЗ: подкоренное выражение в знаменателе должно быть строго положительным: $$ x - a > 0 \iff x > a $$ На ОДЗ знаменатель $\sqrt{x - a} > 0$, поэтому знак дроби совпадает со знаком числителя: $$ x + 3 \ge 0 \iff x \ge -3 $$ Исходное неравенство равносильно системе: $$ \begin{cases} x > a \\ x \ge -3 \end{cases} $$ Сравним параметр $a$ с числом $-3$: 1) Если $a < -3$, то пересечением условий $x > a$ и $x \ge -3$ является луч $[-3; +\infty)$. Решение: $x \in [-3; +\infty)$. 2) Если $a \ge -3$, то пересечением условий $x > a$ и $x \ge -3$ является интервал $(a; +\infty)$. Решение: $x \in (a; +\infty)$. **Ответ:** при $a < -3$: $x \in [-3; +\infty)$; при $a \ge -3$: $x \in (a; +\infty)$. --- ### г) $\frac{x-4}{\sqrt{x-a}} \leq 0$ Найдем ОДЗ: $$ x - a > 0 \iff x > a $$ Поскольку знаменатель $\sqrt{x - a} > 0$ при всех $x > a$, исходное неравенство равносильно системе: $$ \begin{cases} x > a \\ x - 4 \le 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x > a \\ x \le 4 \end{cases} $$ Сравним параметр $a$ с числом $4$: 1) Если $a < 4$, то система имеет решение $a < x \le 4$. Решение: $x \in (a; 4]$. 2) Если $a \ge 4$, то условий $x > a \ge 4$ и $x \le 4$ одновременно выполнить нельзя. Решение: нет решений. **Ответ:** при $a < 4$: $x \in (a; 4]$; при $a \ge 4$: нет решений.