ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 15 - 14

### a) $x^2 + ax + 4 \geq 0$ Рассмотрим квадратный трёхчлен $f(x) = x^2 + ax + 4$. Графиком функции $y = f(x)$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ равен $1 > 0$. Найдём дискриминант соответствующего квадратного уравнения: $$ D = a^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = a^2 - 16 $$ 1. Если $D < 0$, то есть $a^2 - 16 < 0 \iff a \in (-4; 4)$, то квадратный трёхчлен не имеет действительных корней. Парабола целиком лежит выше оси абсцисс, поэтому неравенство выполняется при всех действительных значениях $x$: $$ x \in (-\infty; +\infty) $$ 2. Если $D = 0$, то есть $a = -4$ или $a = 4$: - При $a = 4$ неравенство принимает вид $x^2 + 4x + 4 \geq 0 \iff (x + 2)^2 \geq 0$, что верно для любого $x \in (-\infty; +\infty)$. - При $a = -4$ неравенство принимает вид $x^2 - 4x + 4 \geq 0 \iff (x - 2)^2 \geq 0$, что также верно для любого $x \in (-\infty; +\infty)$. Таким образом, при $a \in [-4; 4]$ решением является вся числовая прямая: $x \in (-\infty; +\infty)$. 3. Если $D > 0$, то есть $a^2 - 16 > 0 \iff a \in (-\infty; -4) \cup (4; +\infty)$, квадратный трёхчлен имеет два различных корня: $$ x_1 = \frac{-a - \sqrt{a^2 - 16}}{2}, \quad x_2 = \frac{-a + \sqrt{a^2 - 16}}{2} $$ Поскольку ветви параболы направлены вверх, значения трёхчлена неотрицательны вне отрезка между корнями: $$ x \in \left(-\infty; \frac{-a - \sqrt{a^2 - 16}}{2}\right] \cup \left[\frac{-a + \sqrt{a^2 - 16}}{2}; +\infty\right) $$ **Ответ:** - при $a \in [-4; 4]$: $x \in (-\infty; +\infty)$; - при $a \in (-\infty; -4) \cup (4; +\infty)$: $x \in \left(-\infty; \frac{-a - \sqrt{a^2 - 16}}{2}\right] \cup \left[\frac{-a + \sqrt{a^2 - 16}}{2}; +\infty\right)$. --- ### b) $x^2 - ax + 4 > 0$ Рассмотрим трёхчлен $f(x) = x^2 - ax + 4$. Ветви соответствующей параболы направлены вверх ($1 > 0$). Найдём дискриминант: $$ D = (-a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = a^2 - 16 $$ 1. Если $D < 0$, то есть $a \in (-4; 4)$, то корней нет, парабола расположена строго выше оси $Ox$, следовательно: $$ x \in (-\infty; +\infty) $$ 2. Если $D = 0$, то есть $a = -4$ или $a = 4$: - При $a = 4$ неравенство имеет вид $(x - 2)^2 > 0$, что верно при всех $x \neq 2$, то есть $x \in (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$. - При $a = -4$ неравенство имеет вид $(x + 2)^2 > 0$, что верно при всех $x \neq -2$, то есть $x \in (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$. 3. Если $D > 0$, то есть $a \in (-\infty; -4) \cup (4; +\infty)$, квадратный трёхчлен имеет два корня: $$ x_1 = \frac{a - \sqrt{a^2 - 16}}{2}, \quad x_2 = \frac{a + \sqrt{a^2 - 16}}{2} $$ Строго положительные значения трёхчлен принимает вне промежутка между корнями: $$ x \in \left(-\infty; \frac{a - \sqrt{a^2 - 16}}{2}\right) \cup \left(\frac{a + \sqrt{a^2 - 16}}{2}; +\infty\right) $$ **Ответ:** - при $a \in (-4; 4)$: $x \in (-\infty; +\infty)$; - при $a = -4$: $x \in (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$; - при $a = 4$: $x \in (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$; - при $a \in (-\infty; -4) \cup (4; +\infty)$: $x \in \left(-\infty; \frac{a - \sqrt{a^2 - 16}}{2}\right) \cup \left(\frac{a + \sqrt{a^2 - 16}}{2}; +\infty\right)$. --- ### c) $x^2 + ax + 9 < 0$ Рассмотрим трёхчлен $f(x) = x^2 + ax + 9$. Ветви параболы направлены вверх. Найдём дискриминант: $$ D = a^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = a^2 - 36 $$ 1. Если $D \leq 0$, то есть $a^2 - 36 \leq 0 \iff a \in [-6; 6]$, то парабола не опускается ниже оси $Ox$ ($f(x) \geq 0$ для всех $x$). Следовательно, строго отрицательных значений трёхчлен не принимает: решений нет. 2. Если $D > 0$, то есть $a \in (-\infty; -6) \cup (6; +\infty)$, квадратный трёхчлен имеет два различных корня: $$ x_1 = \frac{-a - \sqrt{a^2 - 36}}{2}, \quad x_2 = \frac{-a + \sqrt{a^2 - 36}}{2} $$ Трёхчлен принимает отрицательные значения строго между своими корнями: $$ x \in \left(\frac{-a - \sqrt{a^2 - 36}}{2}; \frac{-a + \sqrt{a^2 - 36}}{2}\right) $$ **Ответ:** - при $a \in [-6; 6]$: нет решений; - при $a \in (-\infty; -6) \cup (6; +\infty)$: $x \in \left(\frac{-a - \sqrt{a^2 - 36}}{2}; \frac{-a + \sqrt{a^2 - 36}}{2}\right)$. --- ### d) $x^2 - ax + 9 \leq 0$ Рассмотрим трёхчлен $f(x) = x^2 - ax + 9$. Ветви параболы направлены вверх. Найдём дискриминант: $$ D = (-a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = a^2 - 36 $$ 1. Если $D < 0$, то есть $a \in (-6; 6)$, то трёхчлен положителен при всех $x$ ($f(x) > 0$), поэтому неравенство решений не имеет. 2. Если $D = 0$, то есть $a = -6$ или $a = 6$: - При $a = 6$ неравенство принимает вид $(x - 3)^2 \leq 0$. Квадрат числа неотрицателен, поэтому единственным решением является $x = 3$. - При $a = -6$ неравенство принимает вид $(x + 3)^2 \leq 0$. Единственным решением является $x = -3$. 3. Если $D > 0$, то есть $a \in (-\infty; -6) \cup (6; +\infty)$, квадратный трёхчлен имеет два корня: $$ x_1 = \frac{a - \sqrt{a^2 - 36}}{2}, \quad x_2 = \frac{a + \sqrt{a^2 - 36}}{2} $$ Неположительные значения трёхчлен принимает на отрезке между корнями: $$ x \in \left[\frac{a - \sqrt{a^2 - 36}}{2}; \frac{a + \sqrt{a^2 - 36}}{2}\right] $$ **Ответ:** - при $a \in (-6; 6)$: нет решений; - при $a = -6$: $x = -3$; - при $a = 6$: $x = 3$; - при $a \in (-\infty; -6) \cup (6; +\infty)$: $x \in \left[\frac{a - \sqrt{a^2 - 36}}{2}; \frac{a + \sqrt{a^2 - 36}}{2}\right]$.