ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 15 - 15

**а)** $x^2 + (a+1)x + a \geq 0$ Разложим квадратный трехчлен на множители методом группировки: $$ x^2 + ax + x + a = x(x + a) + (x + a) = (x + 1)(x + a) $$ Исходное неравенство принимает вид: $$ (x + 1)(x + a) \geq 0 $$ Корни левой части: $x_1 = -1$ и $x_2 = -a$. Решим неравенство методом интервалов, рассмотрев взаимное расположение корней в зависимости от значения параметра $a$: 1. Если $-a > -1$, то есть $a < 1$, то корень $-a$ расположен правее $-1$: $$ x \in (-\infty; -1] \cup [-a; +\infty) $$ 2. Если $-a < -1$, то есть $a > 1$, то корень $-a$ расположен левее $-1$: $$ x \in (-\infty; -a] \cup [-1; +\infty) $$ 3. Если $-a = -1$, то есть $a = 1$, то неравенство принимает вид: $$ (x + 1)^2 \geq 0 $$ Квадрат любого действительного числа неотрицателен, следовательно, $x \in (-\infty; +\infty)$. **Ответ:** - при $a < 1$: $x \in (-\infty; -1] \cup [-a; +\infty)$; - при $a = 1$: $x \in (-\infty; +\infty)$; - при $a > 1$: $x \in (-\infty; -a] \cup [-1; +\infty)$. --- **б)** $x^2 + (a+2)x + 2a \leq 0$ Разложим квадратный трехчлен на множители: $$ x^2 + ax + 2x + 2a = x(x + a) + 2(x + a) = (x + 2)(x + a) $$ Неравенство запишется как: $$ (x + 2)(x + a) \leq 0 $$ Корни левой части: $x_1 = -2$ и $x_2 = -a$. Сравним корни: 1. Если $-a > -2$, то есть $a < 2$, то: $$ x \in [-2; -a] $$ 2. Если $-a < -2$, то есть $a > 2$, то: $$ x \in [-a; -2] $$ 3. Если $-a = -2$, то есть $a = 2$, получаем неравенство: $$ (x + 2)^2 \leq 0 $$ Так как квадрат числа не может быть строго меньше нуля, решением является единственная точка, где он равен нулю: $x = -2$. **Ответ:** - при $a < 2$: $x \in [-2; -a]$; - при $a = 2$: $x = -2$; - при $a > 2$: $x \in [-a; -2]$. --- **в)** $x^2 + (a-3)x - 3a > 0$ Разложим квадратный трехчлен на множители: $$ x^2 + ax - 3x - 3a = x(x + a) - 3(x + a) = (x - 3)(x + a) $$ Неравенство принимает вид: $$ (x - 3)(x + a) > 0 $$ Корни левой части: $x_1 = 3$ и $x_2 = -a$. Сравним корни: 1. Если $-a > 3$, то есть $a < -3$, то: $$ x \in (-\infty; 3) \cup (-a; +\infty) $$ 2. Если $-a < 3$, то есть $a > -3$, то: $$ x \in (-\infty; -a) \cup (3; +\infty) $$ 3. Если $-a = 3$, то есть $a = -3$, получаем: $$ (x - 3)^2 > 0 $$ Неравенство верно для всех действительных чисел, кроме $x = 3$. **Ответ:** - при $a < -3$: $x \in (-\infty; 3) \cup (-a; +\infty)$; - при $a = -3$: $x \in (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$; - при $a > -3$: $x \in (-\infty; -a) \cup (3; +\infty)$. --- **г)** $x^2 + (a-4)x - 4a < 0$ Разложим трехчлен на множители: $$ x^2 + ax - 4x - 4a = x(x + a) - 4(x + a) = (x - 4)(x + a) $$ Неравенство запишется как: $$ (x - 4)(x + a) < 0 $$ Корни левой части: $x_1 = 4$ и $x_2 = -a$. Сравним корни: 1. Если $-a > 4$, то есть $a < -4$, то: $$ x \in (4; -a) $$ 2. Если $-a < 4$, то есть $a > -4$, то: $$ x \in (-a; 4) $$ 3. Если $-a = 4$, то есть $a = -4$, получаем: $$ (x - 4)^2 < 0 $$ Квадрат любого действительного числа неотрицателен, следовательно, неравенство не имеет решений. **Ответ:** - при $a < -4$: $x \in (4; -a)$; - при $a = -4$: нет решений; - при $a > -4$: $x \in (-a; 4)$.