ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 15 - 20

а) $\sqrt{x-a} \geq \sqrt{3-x}$ Обе части неравенства неотрицательны при условии их существования. Неравенство равносильно системе: $$ \begin{cases} 3 - x \geq 0 \\ x - a \geq 3 - x \end{cases} $$ Условие $x - a \geq 0$ выполняется автоматически, так как $x - a \geq 3 - x \geq 0$. Решим полученную систему: $$ \begin{cases} x \leq 3 \\ 2x \geq 3 + a \end{cases} \iff \begin{cases} x \leq 3 \\ x \geq \dfrac{3+a}{2} \end{cases} $$ Система имеет решения тогда и только тогда, когда левая граница не превосходит правую: $$ \dfrac{3+a}{2} \leq 3 \iff 3 + a \leq 6 \iff a \leq 3 $$ Таким образом: - при $a \leq 3$: $x \in \left[\dfrac{3+a}{2}; 3\right]$; - при $a > 3$: решений нет. б) $\sqrt{x+a} \geq \sqrt{13-x}$ Неравенство равносильно системе: $$ \begin{cases} 13 - x \geq 0 \\ x + a \geq 13 - x \end{cases} $$ (Условие $x + a \geq 0$ выполняется в силу неравенств $x + a \geq 13 - x \geq 0$). Преобразуем систему: $$ \begin{cases} x \leq 13 \\ 2x \geq 13 - a \end{cases} \iff \begin{cases} x \leq 13 \\ x \geq \dfrac{13-a}{2} \end{cases} $$ Система имеет решения, если: $$ \dfrac{13-a}{2} \leq 13 \iff 13 - a \leq 26 \iff a \geq -13 $$ Таким образом: - при $a \geq -13$: $x \in \left[\dfrac{13-a}{2}; 13\right]$; - при $a < -13$: решений нет. в) $\sqrt{x-a} \leq \sqrt{23-x}$ Поскольку обе части неравенства неотрицательны, возведем их в квадрат с учетом неотрицательности меньшего подкоренного выражения: $$ \begin{cases} x - a \geq 0 \\ x - a \leq 23 - x \end{cases} $$ (Условие $23 - x \geq 0$ выполняется автоматически, так как $23 - x \geq x - a \geq 0$). Решим систему: $$ \begin{cases} x \geq a \\ 2x \leq 23 + a \end{cases} \iff \begin{cases} x \geq a \\ x \leq \dfrac{23+a}{2} \end{cases} $$ Система имеет решения, если: $$ a \leq \dfrac{23+a}{2} \iff 2a \leq 23 + a \iff a \leq 23 $$ Таким образом: - при $a \leq 23$: $x \in \left[a; \dfrac{23+a}{2}\right]$; - при $a > 23$: решений нет. г) $\sqrt{x-a} \leq \sqrt{33-x}$ Неравенство равносильно системе: $$ \begin{cases} x - a \geq 0 \\ x - a \leq 33 - x \end{cases} $$ (Условие $33 - x \geq 0$ выполняется автоматически из $33 - x \geq x - a \geq 0$). Преобразуем систему: $$ \begin{cases} x \geq a \\ 2x \leq 33 + a \end{cases} \iff \begin{cases} x \geq a \\ x \leq \dfrac{33+a}{2} \end{cases} $$ Система имеет решения, если: $$ a \leq \dfrac{33+a}{2} \iff 2a \leq 33 + a \iff a \leq 33 $$ Таким образом: - при $a \leq 33$: $x \in \left[a; \dfrac{33+a}{2}\right]$; - при $a > 33$: решений нет.