ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 15 - 18

### а) $(x - a)\sqrt{x - 1} \ge 0$ 1. Область допустимых значений (ОДЗ): выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным, то есть $x - 1 \ge 0$, откуда $x \ge 1$. 2. Рассмотрим значение, при котором корень обращается в ноль: при $x = 1$ получаем $(1 - a) \cdot 0 \ge 0$, то есть $0 \ge 0$, что верно при любом значении параметра $a$. Значит, $x = 1$ всегда является решением. 3. При $x > 1$ значение корня строго положительно ($\sqrt{x - 1} > 0$). Разделив обе части неравенства на положительную величину $\sqrt{x - 1}$, получаем: $$ x - a \ge 0 \iff x \ge a $$ Учитывая, что рассматривается случай $x > 1$, решение зависит от соотношения между $a$ и $1$: - Если $a \le 1$, то условие $x \ge a$ выполняется для всех $x > 1$. Объединяя с точкой $x = 1$, получаем промежуток $[1; +\infty)$. - Если $a > 1$, то пересечением условий $x > 1$ и $x \ge a$ является промежуток $[a; +\infty)$. Объединяя его с точкой $x = 1$, получаем $\{1\} \cup [a; +\infty)$. **Ответ:** - при $a \le 1$: $x \in [1; +\infty)$; - при $a > 1$: $x \in \{1\} \cup [a; +\infty)$. --- ### б) $(x - a)\sqrt{x - 2} \le 0$ 1. ОДЗ: $x - 2 \ge 0 \iff x \ge 2$. 2. Если $x = 2$, то $\sqrt{x - 2} = 0$, и левая часть равна $0$. Неравенство $0 \le 0$ справедливо при любом $a$, следовательно, $x = 2$ — решение. 3. Если $x > 2$, то $\sqrt{x - 2} > 0$. Разделим неравенство на $\sqrt{x - 2}$: $$ x - a \le 0 \iff x \le a $$ С учетом условия $x > 2$, получаем систему $\begin{cases} x > 2 \\ x \le a \end{cases}$: - Если $a \le 2$, то система не имеет решений. В этом случае единственным решением неравенства остается точка $x = 2$. - Если $a > 2$, то решением системы является полуинтервал $(2; a]$. Объединяя его с решением $x = 2$, получаем отрезок $[2; a]$. **Ответ:** - при $a \le 2$: $x = 2$; - при $a > 2$: $x \in [2; a]$. --- ### в) $(x - 3)\sqrt{x - a} \ge 0$ 1. ОДЗ: $x - a \ge 0 \iff x \ge a$. 2. При $x = a$ левая часть обращается в ноль: $0 \ge 0$ — верно. Точка $x = a$ входит в решение при любом значении $a$. 3. При $x > a$ корень $\sqrt{x - a} > 0$. Разделим на него обе части неравенства: $$ x - 3 \ge 0 \iff x \ge 3 $$ Необходимо найти пересечение условий $x > a$ и $x \ge 3$: - Если $a < 3$, то пересечением является промежуток $[3; +\infty)$. Объединяя с точкой $x = a$, получаем $x \in \{a\} \cup [3; +\infty)$. - Если $a \ge 3$, то из условия $x > a$ автоматически следует $x > 3$. Пересечением является промежуток $(a; +\infty)$. Объединяя его с точкой $x = a$, получаем промежуток $[a; +\infty)$. **Ответ:** - при $a < 3$: $x \in \{a\} \cup [3; +\infty)$; - при $a \ge 3$: $x \in [a; +\infty)$. --- ### г) $(x - 4)\sqrt{x - a} \le 0$ 1. ОДЗ: $x - a \ge 0 \iff x \ge a$. 2. При $x = a$ левая часть равна нулю: $0 \le 0$ — верно. Значит, точка $x = a$ всегда является решением. 3. При $x > a$ корень $\sqrt{x - a} > 0$. Разделив на него обе части неравенства, получаем: $$ x - 4 \le 0 \iff x \le 4 $$ С учетом условия $x > a$, получаем двойное неравенство $a < x \le 4$: - Если $a < 4$, то решением является полуинтервал $(a; 4]$. Объединяя его с точкой $x = a$, получаем отрезок $[a; 4]$. - Если $a \ge 4$, то промежуток $(a; 4]$ пуст, и единственным решением остается точка $x = a$. **Ответ:** - при $a < 4$: $x \in [a; 4]$; - при $a \ge 4$: $x = a$.