ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 15 - 16

а) $\frac{x-1}{x-a} > 0$ Нуль числителя: $x = 1$. Нуль знаменателя: $x = a$ (при этом $x \neq a$). Применим метод интервалов, сравнив значение параметра $a$ с числом $1$: 1. Если $a < 1$, то на числовой прямой точки располагаются в порядке $a$, $1$. Знаки выражения: $+$ на $(-\infty; a)$, $-$ на $(a; 1)$, $+$ на $(1; +\infty)$. Решение: $x \in (-\infty; a) \cup (1; +\infty)$. 2. Если $a = 1$, то неравенство принимает вид: $$\frac{x-1}{x-1} > 0$$ Оно равносильно условию $1 > 0$ при $x \neq 1$, что верно для всех допустимых значений $x$. Решение: $x \in (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$. 3. Если $a > 1$, то точки располагаются в порядке $1$, $a$. Знаки выражения: $+$ на $(-\infty; 1)$, $-$ на $(1; a)$, $+$ на $(a; +\infty)$. Решение: $x \in (-\infty; 1) \cup (a; +\infty)$. **Ответ:** при $a < 1$: $x \in (-\infty; a) \cup (1; +\infty)$; при $a = 1$: $x \in (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$; при $a > 1$: $x \in (-\infty; 1) \cup (a; +\infty)$. --- б) $\frac{x-a}{x+2} > 0$ Нуль числителя: $x = a$. Нуль знаменателя: $x = -2$ (при этом $x \neq -2$). Сравним параметр $a$ с числом $-2$: 1. Если $a < -2$, то точки располагаются в порядке $a$, $-2$. Знаки выражения: $+$ на $(-\infty; a)$, $-$ на $(a; -2)$, $+$ на $(-2; +\infty)$. Решение: $x \in (-\infty; a) \cup (-2; +\infty)$. 2. Если $a = -2$, то неравенство принимает вид: $$\frac{x+2}{x+2} > 0$$ Оно выполняется при всех $x \neq -2$. Решение: $x \in (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$. 3. Если $a > -2$, то точки располагаются в порядке $-2$, $a$. Знаки выражения: $+$ на $(-\infty; -2)$, $-$ на $(-2; a)$, $+$ на $(a; +\infty)$. Решение: $x \in (-\infty; -2) \cup (a; +\infty)$. **Ответ:** при $a < -2$: $x \in (-\infty; a) \cup (-2; +\infty)$; при $a = -2$: $x \in (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$; при $a > -2$: $x \in (-\infty; -2) \cup (a; +\infty)$. --- в) $\frac{x+3}{x+a} \geqslant 0$ Нуль числителя: $x = -3$ (входит в решение, так как неравенство нестрогое). Нуль знаменателя: $x = -a$ (выколотая точка, так как делить на ноль нельзя, $x \neq -a$). Сравним $-a$ и $-3$: 1. Если $-a < -3$, то есть $a > 3$: Точка $-a$ лежит левее $-3$. Знаки выражения: $+$ на $(-\infty; -a)$, $-$ на $(-a; -3]$, $+$ на $[-3; +\infty)$. Решение: $x \in (-\infty; -a) \cup [-3; +\infty)$. 2. Если $-a = -3$, то есть $a = 3$: Неравенство принимает вид: $$\frac{x+3}{x+3} \geqslant 0$$ При $x \neq -3$ дробь равна $1$, а $1 \geqslant 0$ — верное числовое неравенство. При $x = -3$ выражение не определено. Решение: $x \in (-\infty; -3) \cup (-3; +\infty)$. 3. Если $-a > -3$, то есть $a < 3$: Точка $-3$ лежит левее $-a$. Знаки выражения: $+$ на $(-\infty; -3]$, $-$ на $[-3; -a)$, $+$ на $(-a; +\infty)$. Решение: $x \in (-\infty; -3] \cup (-a; +\infty)$. **Ответ:** при $a < 3$: $x \in (-\infty; -3] \cup (-a; +\infty)$; при $a = 3$: $x \in (-\infty; -3) \cup (-3; +\infty)$; при $a > 3$: $x \in (-\infty; -a) \cup [-3; +\infty)$. --- г) $\frac{x+a}{x-4} \leqslant 0$ Нуль числителя: $x = -a$ (входит в решение). Нуль знаменателя: $x = 4$ (выколотая точка, $x \neq 4$). Сравним $-a$ и $4$: 1. Если $-a < 4$, то есть $a > -4$: Точки располагаются в порядке $-a$, $4$. Знаки выражения: $+$ на $(-\infty; -a]$, $-$ на $[-a; 4)$, $+$ на $(4; +\infty)$. Нам требуется знак «минус» или ноль. Решение: $x \in [-a; 4)$. 2. Если $-a = 4$, то есть $a = -4$: Неравенство принимает вид: $$\frac{x-4}{x-4} \leqslant 0$$ При $x \neq 4$ дробь равна $1$, но условие $1 \leqslant 0$ неверно. Решение: решений нет ($\varnothing$). 3. Если $-a > 4$, то есть $a < -4$: Точки располагаются в порядке $4$, $-a$. Знаки выражения: $+$ на $(-\infty; 4)$, $-$ на $(4; -a]$, $+$ на $[-a; +\infty)$. Решение: $x \in (4; -a]$. **Ответ:** при $a < -4$: $x \in (4; -a]$; при $a = -4$: решений нет; при $a > -4$: $x \in [-a; 4)$.