ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 963

**963.** Дана система уравнений: $$ \begin{cases} 3^{\log_3 x} - 2^{\log_4 y} = 77, \\ 3^{\log_3 x} + 2^{\log_{16} y} = 11. \end{cases} $$ 1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения, стоящие под знаком логарифма, должны быть строго положительными: $$ \begin{cases} x > 0, \\ y > 0. \end{cases} $$ 2. Упростим выражения, входящие в систему, используя свойства степеней и логарифмов при $x > 0$ и $y > 0$: — по основному логарифмическому тождеству: $3^{\log_3 x} = x$; — преобразуем основание логарифма во втором слагаемом первого уравнения: $2^{\log_4 y} = 2^{\log_{2^2} y} = 2^{\frac{1}{2} \log_2 y} = \left(2^{\log_2 y}\right)^{\frac{1}{2}} = y^{\frac{1}{2}} = \sqrt{y}$; — аналогично преобразуем второе слагаемое второго уравнения: $2^{\log_{16} y} = 2^{\log_{2^4} y} = 2^{\frac{1}{4} \log_2 y} = \left(2^{\log_2 y}\right)^{\frac{1}{4}} = y^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{y}$. 3. Подставим найденные выражения в исходную систему: $$ \begin{cases} x - \sqrt{y} = 77, \\ x + \sqrt[4]{y} = 11. \end{cases} $$ 4. Вычтем из первого уравнения второе: $$ (x - \sqrt{y}) - (x + \sqrt[4]{y}) = 77 - 11 $$ $$ -\sqrt{y} - \sqrt[4]{y} = 66 $$ $$ \sqrt{y} + \sqrt[4]{y} + 66 = 0 $$ 5. Введем замену переменной: пусть $t = \sqrt[4]{y}$. Так как $y > 0$, то $t > 0$. Тогда $\sqrt{y} = t^2$. Получаем квадратное уравнение относительно $t$: $$ t^2 + t + 66 = 0 $$ Найдем дискриминант уравнения: $$ D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 66 = 1 - 264 = -263 $$ Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней (более того, при любых $t > 0$ значение выражения $t^2 + t + 66 > 0$). Значит, переменная $y$ не существует, следовательно, и исходная система уравнений не имеет решений. Ответ: решений нет.