ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 964

### 1) Рассмотрим систему неравенств: $$ \begin{cases} x + 3y - 3 \geq 0, \\ 2x + 3y - 12 \leq 0, \\ x \geq 0, \\ 0 \leq y \leq 2. \end{cases} $$ Построим граничные прямые: 1. $x + 3y - 3 = 0 \iff x = 3 - 3y$. Прямая проходит через точки $(3; 0)$ и $(0; 1)$. Неравенство $x + 3y - 3 \geq 0$ задаёт полуплоскость, лежащую правее и выше этой прямой. 2. $2x + 3y - 12 = 0 \iff x = 6 - 1{,}5y$. Прямая проходит через точки $(6; 0)$ и $(0; 4)$, а при $y = 2$ получаем $x = 3$. Неравенство $2x + 3y - 12 \leq 0$ задаёт полуплоскость, лежащую левее и ниже этой прямой. 3. $x \geq 0$ — полуплоскость справа от оси ординат. 4. $0 \leq y \leq 2$ — горизонтальная полоса между осью абсцисс $y = 0$ и прямой $y = 2$. Найдём вершины полученной фигуры: - При $y = 0$: $x \in [3; 6]$, получаем вершины $A(3; 0)$ и $B(6; 0)$. - На прямой $2x + 3y - 12 = 0$ при $y = 2$: $x = 3$, получаем вершину $C(3; 2)$. - На прямой $y = 2$ при $x = 0$: получаем вершину $D(0; 2)$. - На оси $Oy$ ($x = 0$): из первого неравенства $3y - 3 \geq 0 \iff y \geq 1$. Получаем вершину $E(0; 1)$. Множество решений задаёт пятиугольник $ABCDE$ с вершинами $A(3; 0)$, $B(6; 0)$, $C(3; 2)$, $D(0; 2)$, $E(0; 1)$. Для вычисления площади пятиугольника дополним его до прямоугольника $[0; 6] \times [0; 2]$: - Площадь прямоугольника со сторонами $6$ и $2$: $$ S_{\text{пр}} = 6 \cdot 2 = 12. $$ - Вне фигуры остаются два прямоугольных треугольника: - в левом нижнем углу — с катетами $3$ (по оси $Ox$) и $1$ (по оси $Oy$): $$ S_1 = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 1 = 1{,}5; $$ - в правом верхнем углу — с катетами $6 - 3 = 3$ и высотой $2$: $$ S_2 = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 2 = 3. $$ Площадь пятиугольника: $$ S = S_{\text{пр}} - S_1 - S_2 = 12 - 1{,}5 - 3 = 7{,}5. $$ **Ответ:** $7{,}5$. --- ### 2) Рассмотрим систему неравенств: $$ \begin{cases} x - y + 1 \leq 0, \\ 5x - 3y + 15 \geq 0, \\ x \leq 0, \\ 0 \leq y \leq 2{,}5. \end{cases} $$ Построим границы области: 1. $x - y + 1 = 0 \iff x = y - 1$. Прямая проходит через точки $(-1; 0)$ и $(0; 1)$. Неравенство $x \leq y - 1$ определяет полуплоскость слева от прямой. 2. $5x - 3y + 15 = 0 \iff x = 0{,}6y - 3$. Прямая проходит через точки $(-3; 0)$ и $(0; 5)$. Неравенство $x \geq 0{,}6y - 3$ определяет полуплоскость справа от прямой. 3. $x \leq 0$ — полуплоскость слева от оси $Oy$. 4. $0 \leq y \leq 2{,}5$ — горизонтальная полоса. Определим вершины пятиугольника: - При $y = 0$: $x \in [-3; -1]$, получаем точки $A(-3; 0)$ и $B(-1; 0)$. - На прямой $x - y + 1 = 0$ при $x = 0$: $y = 1$, получаем точку $C(0; 1)$. - При $y = 2{,}5$ на оси $Oy$: точка $D(0; 2{,}5)$. - На прямой $5x - 3y + 15 = 0$ при $y = 2{,}5$: $x = 0{,}6 \cdot 2{,}5 - 3 = -1{,}5$, получаем точку $E(-1{,}5; 2{,}5)$. Фигура представляет собой пятиугольник $ABCDE$. Разобьём его горизонтальной прямой $y = 1$ на две трапеции: 1. Нижняя трапеция (при $0 \leq y \leq 1$): - нижнее основание лежит на оси $Ox$ между точками $(-3; 0)$ и $(-1; 0)$, его длина равна $|-1 - (-3)| = 2$; - верхнее основание лежит на прямой $y = 1$ между точками $(-2{,}4; 1)$ и $(0; 1)$, его длина равна $2{,}4$; - высота равна $1 - 0 = 1$. $$ S_1 = \frac{2 + 2{,}4}{2} \cdot 1 = 2{,}2. $$ 2. Верхняя прямоугольная трапеция (при $1 \leq y \leq 2{,}5$): - нижнее основание имеет длину $2{,}4$; - верхнее основание лежит на прямой $y = 2{,}5$ между точками $(-1{,}5; 2{,}5)$ и $(0; 2{,}5)$, его длина равна $1{,}5$; - высота равна $2{,}5 - 1 = 1{,}5$. $$ S_2 = \frac{2{,}4 + 1{,}5}{2} \cdot 1{,}5 = \frac{3{,}9}{2} \cdot 1{,}5 = 1{,}95 \cdot 1{,}5 = 2{,}925. $$ Общая площадь фигуры: $$ S = S_1 + S_2 = 2{,}2 + 2{,}925 = 5{,}125. $$ **Ответ:** $5{,}125$. --- ### 3) Рассмотрим систему неравенств: $$ \begin{cases} (x + y - 1)(x + y - 3) \leq 0, \\ x - y \leq 0, \\ x \geq 0. \end{cases} $$ 1. Произведение двух множителей неположительно, когда они имеют разные знаки. Поскольку $x + y - 1 \leq x + y - 3$ быть не может, получаем: $$ 1 \leq x + y \leq 3. $$ Это полоса между двумя параллельными прямыми $x + y = 1$ и $x + y = 3$. 2. Неравенство $x - y \leq 0 \iff y \geq x$ задаёт полуплоскость выше прямой $y = x$. 3. Условие $x \geq 0$ ограничивает область полуплоскостью справа от оси $Oy$. Найдём вершины четырёхугольника, ограниченного этими линиями: - На оси $Oy$ ($x = 0$): из $1 \leq y \leq 3$ получаем точки $A(0; 1)$ и $D(0; 3)$. - На прямой $y = x$: - пересечение с $x + y = 1$: $2x = 1 \implies x = 0{,}5, y = 0{,}5$, точка $B(0{,}5; 0{,}5)$; - пересечение с $x + y = 3$: $2x = 3 \implies x = 1{,}5, y = 1{,}5$, точка $C(1{,}5; 1{,}5)$. Стороны $AB$ и $CD$ лежат на параллельных прямых $x + y = 1$ и $x + y = 3$, поэтому фигура $ABCD$ — трапеция. Её площадь удобно найти как разность площадей двух треугольников с вершиной в начале координат $O(0; 0)$: 1. Треугольник $OCD$ ограничен прямыми $x = 0$, $y = x$ и $x + y = 3$. Его основание лежит на оси $Oy$ и равно $3$, а высота, проведённая к нему, равна абсциссе точки $C$, то есть $1{,}5$: $$ S_{\triangle OCD} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 1{,}5 = 2{,}25. $$ 2. Треугольник $OBA$ ограничен прямыми $x = 0$, $y = x$ и $x + y = 1$. Его основание лежит на оси $Oy$ и равно $1$, а высота равна абсциссе точки $B$, то есть $0{,}5$: $$ S_{\triangle OBA} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 0{,}5 = 0{,}25. $$ Площадь искомой фигуры: $$ S = S_{\triangle OCD} - S_{\triangle OBA} = 2{,}25 - 0{,}25 = 2. $$ **Ответ:** $2$. --- ### 4) Рассмотрим систему неравенств: $$ \begin{cases} (2x - y + 3)(4x + 3y - 9) \leq 0, \\ x + y \geq 0, \\ -1 \leq y \leq 3. \end{cases} $$ 1. Рассмотрим первое неравенство. Найдём точку пересечения прямых $2x - y + 3 = 0$ и $4x + 3y - 9 = 0$: $$ \begin{cases} y = 2x + 3, \\ 4x + 3(2x + 3) - 9 = 0 \implies 10x = 0 \implies x = 0, y = 3. \end{cases} $$ Точка их пересечения — $P(0; 3)$. Выразим $x$ через $y$ для каждой прямой: - $2x - y + 3 = 0 \iff x = 0{,}5y - 1{,}5$; - $4x + 3y - 9 = 0 \iff x = 2{,}25 - 0{,}75y$. Так как произведение $8(x - (0{,}5y - 1{,}5))(x - (2{,}25 - 0{,}75y)) \leq 0$, а при $y \leq 3$ выполняется $0{,}5y - 1{,}5 \leq 2{,}25 - 0{,}75y$, неравенство равносильно: $$ 0{,}5y - 1{,}5 \leq x \leq 2{,}25 - 0{,}75y. $$ 2. Второе неравенство системы: $x \geq -y$. Сравним нижние границы для $x$: - $0{,}5y - 1{,}5 \geq -y \iff 1{,}5y \geq 1{,}5 \iff y \geq 1$. Таким образом: - при $y \in [1; 3]$ левой границей является прямая $x = 0{,}5y - 1{,}5$; - при $y \in [-1; 1]$ левой границей является прямая $x = -y$. Правой границей на всём отрезке $y \in [-1; 3]$ остаётся прямая $x = 2{,}25 - 0{,}75y$. Найдём вершины фигуры: - верхняя вершина: $P(0; 3)$; - точка излома левой границы при $y = 1$: $x = -1$, точка $A(-1; 1)$; - нижняя левая вершина при $y = -1$: $x = -(-1) = 1$, точка $B(1; -1)$; - нижняя правая вершина при $y = -1$: $x = 2{,}25 - 0{,}75(-1) = 3$, точка $C(3; -1)$. Фигура $PABC$ разбивается горизонтальной прямой $y = 1$ на две части: 1. Трапеция $ABC_1$ (при $-1 \leq y \leq 1$): - нижнее основание $BC$ лежит на прямой $y = -1$, его длина равна $3 - 1 = 2$; - верхнее основание лежит на прямой $y = 1$ от $x = -1$ до $x = 2{,}25 - 0{,}75(1) = 1{,}5$, его длина равна $1{,}5 - (-1) = 2{,}5$; - высота равна $1 - (-1) = 2$. $$ S_1 = \frac{2 + 2{,}5}{2} \cdot 2 = 4{,}5. $$ 2. Треугольник $PAC_1$ (при $1 \leq y \leq 3$): - основание лежит на прямой $y = 1$ и равно $2{,}5$; - вершина находится в точке $P(0; 3)$, высота треугольника равна $3 - 1 = 2$. $$ S_2 = \frac{1}{2} \cdot 2{,}5 \cdot 2 = 2{,}5. $$ Общая площадь фигуры: $$ S = S_1 + S_2 = 4{,}5 + 2{,}5 = 7. $$ **Ответ:** $7$.