ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 960

Рассмотрим второе уравнение системы: $$ x^2 + y^2 - 2y - \cos(xy) + 11 - 6a + a^2 = 0 $$ Преобразуем его левую часть, выделив полные квадраты: $$ x^2 + (y^2 - 2y + 1) + (a^2 - 6a + 9) + (1 - \cos(xy)) = 0 $$ $$ x^2 + (y - 1)^2 + (a - 3)^2 + (1 - \cos(xy)) = 0 $$ Оценим каждое слагаемое полученного уравнения: * $x^2 \ge 0$ для любого $x \in \mathbb{R}$; * $(y - 1)^2 \ge 0$ для любого $y \in \mathbb{R}$; * $(a - 3)^2 \ge 0$ для любого $a \in \mathbb{R}$; * так как $\cos(xy) \le 1$, то $1 - \cos(xy) \ge 0$ для любых $x, y \in \mathbb{R}$. Сумма неотрицательных слагаемых равна нулю тогда и только тогда, когда каждое слагаемое одновременно равно нулю: $$ \begin{cases} x = 0, \\ y - 1 = 0, \\ a - 3 = 0, \\ 1 - \cos(xy) = 0. \end{cases} $$ Из первых трёх уравнений находим: $$ x = 0, \quad y = 1, \quad a = 3 $$ Проверим четвёртое условие при $x = 0$ и $y = 1$: $$ 1 - \cos(0 \cdot 1) = 1 - \cos 0 = 1 - 1 = 0 $$ Равенство верно. Таким образом, второе уравнение системы имеет решения только при $a = 3$, и единственным возможным решением является пара $(x; y) = (0; 1)$. При $a \neq 3$ второе уравнение не имеет действительных решений, а значит, и вся система решений не имеет. Проверим, удовлетворяет ли найденная пара $(0; 1)$ первому уравнению системы при $a = 3$: $$ a^2 - 2\sqrt{3}|a|y + x^2 + 2xy - y^2 - 2 = 0 $$ Подставим $a = 3$, $x = 0$, $y = 1$: $$ 3^2 - 2\sqrt{3}\cdot |3|\cdot 1 + 0^2 + 2\cdot 0\cdot 1 - 1^2 - 2 = 0 $$ $$ 9 - 6\sqrt{3} - 1 - 2 = 0 $$ $$ 6 - 6\sqrt{3} = 0 $$ Так как $6 - 6\sqrt{3} \neq 0$, равенство не выполняется. Следовательно, при $a = 3$ пара $(0; 1)$ не является решением первого уравнения. Таким образом, ни при каких значениях параметра $a$ система не имеет решений. Ответ: при всех $a \in \mathbb{R}$ решений нет.