ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 961

### 1) $$ \begin{cases} x^y = y^x, \\ x^3 = y^2. \end{cases} $$ Область определения показательно-степенных выражений в школьном курсе: $x > 0$, $y > 0$. Из второго уравнения выразим $y$: $$ y = x^{\frac{3}{2}}. $$ Подставим полученное выражение в первое уравнение: $$ x^{\left(x^{\frac{3}{2}}\right)} = \left(x^{\frac{3}{2}}\right)^x, $$ $$ x^{x^{\frac{3}{2}}} = x^{\frac{3}{2}x}. $$ Рассмотрим два случая: 1. Основание степени равно единице: $x = 1$. Тогда: $$ y = 1^{\frac{3}{2}} = 1. $$ Пара $(1; 1)$ удовлетворяет обоим уравнениям системы: $1^1 = 1^1$ и $1^3 = 1^2$. 2. Основание степени $x > 0$ и $x \neq 1$. Приравниваем показатели: $$ x^{\frac{3}{2}} = \frac{3}{2}x. $$ Разделим обе части уравнения на $x$ (так как $x \neq 0$): $$ x^{\frac{1}{2}} = \frac{3}{2}, $$ $$ x = \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}. $$ Найдем значение $y$: $$ y = \left(\frac{9}{4}\right)^{\frac{3}{2}} = \left(\left(\frac{3}{2}\right)^2\right)^{\frac{3}{2}} = \left(\frac{3}{2}\right)^3 = \frac{27}{8}. $$ Ответ: $(1; 1)$, $\left(\frac{9}{4}; \frac{27}{8}\right)$. --- ### 2) $$ \begin{cases} x^{\sqrt{y}} = y, \\ y^{\sqrt{y}} = x^4. \end{cases} $$ Область допустимых значений: $x > 0$, $y > 0$. Возведем обе части первого уравнения $x^{\sqrt{y}} = y$ в степень $\sqrt{y}$: $$ \left(x^{\sqrt{y}}\right)^{\sqrt{y}} = y^{\sqrt{y}}, $$ $$ x^y = y^{\sqrt{y}}. $$ Подставим во второе уравнение системы вместо $y^{\sqrt{y}}$ выражение $x^y$: $$ x^y = x^4. $$ Рассмотрим два случая: 1. $x = 1$. Подставим $x = 1$ в первое уравнение: $$ 1^{\sqrt{y}} = y \implies y = 1. $$ Проверим пару $(1; 1)$ во втором уравнении: $1^{\sqrt{1}} = 1^4$ — верно. 2. $x > 0$ и $x \neq 1$. Приравниваем показатели: $$ y = 4. $$ Подставим $y = 4$ в первое уравнение: $$ x^{\sqrt{4}} = 4 \implies x^2 = 4. $$ Так как $x > 0$, получаем $x = 2$. Проверим пару $(2; 4)$ во втором уравнении: $4^{\sqrt{4}} = 4^2 = 16$ и $2^4 = 16$ — верно. Ответ: $(1; 1)$, $(2; 4)$. --- ### 3) $$ \begin{cases} \sqrt{2} \sin x = \sin y, \\ \sqrt{2} \cos x = \sqrt{3} \cos y. \end{cases} $$ Возведем обе части каждого уравнения в квадрат: $$ \begin{cases} 2 \sin^2 x = \sin^2 y, \\ 2 \cos^2 x = 3 \cos^2 y. \end{cases} $$ Сложим полученные уравнения: $$ 2(\sin^2 x + \cos^2 x) = \sin^2 y + 3 \cos^2 y. $$ Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, получаем: $$ 2 = (1 - \cos^2 y) + 3 \cos^2 y, $$ $$ 2 = 1 + 2 \cos^2 y, $$ $$ 2 \cos^2 y = 1 \implies \cos^2 y = \frac{1}{2}. $$ Отсюда $\cos y = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin^2 y = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \implies \sin y = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$. Из исходной системы выразим $\sin x$ и $\cos x$: $$ \sin x = \frac{\sin y}{\sqrt{2}}, \quad \cos x = \frac{\sqrt{3}\cos y}{\sqrt{2}}. $$ Знаки $\sin x$ и $\cos x$ определяются знаками $\sin y$ и $\cos y$: 1. Если $\sin y = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\cos y = \frac{\sqrt{2}}{2}$, то $y = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$: $$ \sin x = \frac{1}{2}, \quad \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} \implies x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n. $$ 2. Если $\sin y = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\cos y = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, то $y = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$: $$ \sin x = \frac{1}{2}, \quad \cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2} \implies x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n. $$ 3. Если $\sin y = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\cos y = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, то $y = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k$: $$ \sin x = -\frac{1}{2}, \quad \cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2} \implies x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi n. $$ 4. Если $\sin y = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\cos y = \frac{\sqrt{2}}{2}$, то $y = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k$: $$ \sin x = -\frac{1}{2}, \quad \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} \implies x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n. $$ Ответ: $$ \left(\frac{\pi}{6} + 2\pi n; \, \frac{\pi}{4} + 2\pi k\right), \quad \left(\frac{5\pi}{6} + 2\pi n; \, \frac{3\pi}{4} + 2\pi k\right), $$ $$ \left(-\frac{5\pi}{6} + 2\pi n; \, -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k\right), \quad \left(-\frac{\pi}{6} + 2\pi n; \, -\frac{\pi}{4} + 2\pi k\right), \quad k, n \in \mathbb{Z}. $$ --- ### 4) $$ \begin{cases} x - y = -\frac{1}{3}, \\ \cos^2 \pi x - \sin^2 \pi y = \frac{1}{2}. \end{cases} $$ Преобразуем второе уравнение системы с помощью формул понижения степени: $$ \frac{1 + \cos 2\pi x}{2} - \frac{1 - \cos 2\pi y}{2} = \frac{1}{2}, $$ $$ \frac{\cos 2\pi x + \cos 2\pi y}{2} = \frac{1}{2}, $$ $$ \cos(\pi(x + y)) \cos(\pi(x - y)) = \frac{1}{2}. $$ Так как из первого уравнения $x - y = -\frac{1}{3}$, то: $$ \cos(\pi(x - y)) = \cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}. $$ Подставим это значение в уравнение: $$ \cos(\pi(x + y)) \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}, $$ $$ \cos(\pi(x + y)) = 1, $$ $$ \pi(x + y) = 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}, $$ $$ x + y = 2k. $$ Получаем систему линейных уравнений: $$ \begin{cases} x + y = 2k, \\ x - y = -\frac{1}{3}. \end{cases} $$ Сложим уравнения: $$ 2x = 2k - \frac{1}{3} \implies x = k - \frac{1}{6}. $$ Вычтем из первого уравнения второе: $$ 2y = 2k + \frac{1}{3} \implies y = k + \frac{1}{6}. $$ Ответ: $\left(k - \frac{1}{6}; \, k + \frac{1}{6}\right), \; k \in \mathbb{Z}$. --- ### 5) $$ \begin{cases} \cos x \sin y = \frac{1}{2}, \\ \sin 2x + \sin 2y = 0. \end{cases} $$ Преобразуем сумму синусов во втором уравнении в произведение: $$ 2 \sin(x + y) \cos(x - y) = 0. $$ Отсюда либо $\sin(x + y) = 0$, либо $\cos(x - y) = 0$. Используем формулу произведения тригонометрических функций для первого уравнения: $$ \cos x \sin y = \frac{1}{2}(\sin(x + y) - \sin(x - y)). $$ Тогда: $$ \frac{1}{2}(\sin(x + y) - \sin(x - y)) = \frac{1}{2} \implies \sin(x + y) - \sin(x - y) = 1. $$ Рассмотрим два случая: 1. $\sin(x + y) = 0$. Тогда: $$ 0 - \sin(x - y) = 1 \implies \sin(x - y) = -1. $$ Получаем систему: $$ \begin{cases} x + y = \pi k, \\ x - y = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad k, n \in \mathbb{Z}. \end{cases} $$ Сложим уравнения: $$ 2x = -\frac{\pi}{2} + \pi k + 2\pi n \implies x = -\frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2} + \pi n. $$ Вычтем из первого уравнения второе: $$ 2y = \frac{\pi}{2} + \pi k - 2\pi n \implies y = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2} - \pi n. $$ 2. $\cos(x - y) = 0$. Тогда $\sin(x - y) = 1$ или $\sin(x - y) = -1$. — Если $\sin(x - y) = -1$, то $\sin(x + y) = 1 + (-1) = 0$, что полностью совпадает с первым случаем. — Если $\sin(x - y) = 1$, то $\sin(x + y) = 1 + 1 = 2$, что не имеет действительных решений, так как $|\sin(x + y)| \le 1$. Ответ: $\left(-\frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2} + \pi n; \, \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2} - \pi n\right), \; k, n \in \mathbb{Z}$.