ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 962

**№ 962** Дана система уравнений: $$ \begin{cases} 6\sin x \cos y + 2\cos x \sin y = -3, \\ 5\sin x \cos y - 3\cos x \sin y = 1. \end{cases} $$ Введём замену переменных: пусть $u = \sin x \cos y$ и $v = \cos x \sin y$. Получаем линейную систему уравнений: $$ \begin{cases} 6u + 2v = -3, \\ 5u - 3v = 1. \end{cases} $$ Решим её методом сложения. Умножим первое уравнение на $3$, а второе — на $2$: $$ \begin{cases} 18u + 6v = -9, \\ 10u - 6v = 2. \end{cases} $$ Сложим полученные уравнения: $$ 28u = -7 \implies u = -\frac{7}{28} = -\frac{1}{4}. $$ Подставим значение $u = -\frac{1}{4}$ в первое уравнение: $$ 6 \cdot \left(-\frac{1}{4}\right) + 2v = -3, $$ $$ -\frac{3}{2} + 2v = -3, $$ $$ 2v = -3 + \frac{3}{2} = -\frac{3}{2} \implies v = -\frac{3}{4}. $$ Возвращаемся к переменным $x$ и $y$: $$ \begin{cases} \sin x \cos y = -\frac{1}{4}, \\ \cos x \sin y = -\frac{3}{4}. \end{cases} $$ Используем тригонометрические формулы синуса суммы и синуса разности: * $\sin(x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y = -\frac{1}{4} + \left(-\frac{3}{4}\right) = -1$; * $\sin(x - y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y = -\frac{1}{4} - \left(-\frac{3}{4}\right) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$. Получаем систему: $$ \begin{cases} \sin(x + y) = -1, \\ \sin(x - y) = \frac{1}{2}. \end{cases} $$ Решим первое уравнение: $$ x + y = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}. $$ Для второго уравнения $\sin(x - y) = \frac{1}{2}$ возможны два случая ($n \in \mathbb{Z}$): 1) $x - y = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$. Составим систему: $$ \begin{cases} x + y = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \\ x - y = \frac{\pi}{6} + 2\pi n. \end{cases} $$ Сложим уравнения: $$ 2x = -\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} + 2\pi(k + n) = -\frac{\pi}{3} + 2\pi(k + n) \implies x = -\frac{\pi}{6} + \pi(k + n). $$ Вычтем второе уравнение из первого: $$ 2y = -\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} + 2\pi(k - n) = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi(k - n) \implies y = -\frac{\pi}{3} + \pi(k - n). $$ 2) $x - y = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$. Составим систему: $$ \begin{cases} x + y = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \\ x - y = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n. \end{cases} $$ Сложим уравнения: $$ 2x = -\frac{\pi}{2} + \frac{5\pi}{6} + 2\pi(k + n) = \frac{\pi}{3} + 2\pi(k + n) \implies x = \frac{\pi}{6} + \pi(k + n). $$ Вычтем второе уравнение из первого: $$ 2y = -\frac{\pi}{2} - \frac{5\pi}{6} + 2\pi(k - n) = -\frac{4\pi}{3} + 2\pi(k - n) \implies y = -\frac{2\pi}{3} + \pi(k - n). $$ Ответ: $$ \left(-\frac{\pi}{6} + \pi(k + n);\; -\frac{\pi}{3} + \pi(k - n)\right), \quad \left(\frac{\pi}{6} + \pi(k + n);\; -\frac{2\pi}{3} + \pi(k - n)\right), \quad k \in \mathbb{Z}, \; n \in \mathbb{Z}. $$