ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 816

**1)** $(x - 1)(x - 3)(x + 2)(x + 6) = 72x^2$ Сгруппируем множители так, чтобы произведения свободных членов в парах скобок совпадали: $(-1) \cdot 6 = -6$ и $(-3) \cdot 2 = -6$. $$ ((x - 1)(x + 6)) \cdot ((x - 3)(x + 2)) = 72x^2 $$ Раскроем скобки в каждой паре: $$ (x^2 + 5x - 6)(x^2 - x - 6) = 72x^2 $$ Заметим, что $x = 0$ не является корнем уравнения, так как при подстановке $x = 0$ получаем $(-6) \cdot (-6) = 36 \neq 0$. Разделим обе части уравнения на $x^2 \neq 0$, распределив по одному множителю $x$ в каждую скобку: $$ \left(\frac{x^2 + 5x - 6}{x}\right)\left(\frac{x^2 - x - 6}{x}\right) = 72 $$ $$ \left(x - \frac{6}{x} + 5\right)\left(x - \frac{6}{x} - 1\right) = 72 $$ Введем новую переменную: пусть $t = x - \dfrac{6}{x}$. Тогда уравнение принимает вид: $$ (t + 5)(t - 1) = 72 $$ $$ t^2 + 4t - 5 - 72 = 0 $$ $$ t^2 + 4t - 77 = 0 $$ Найдем корни полученного квадратного уравнения: $$ D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-77) = 16 + 308 = 324 = 18^2 $$ $$ t_1 = \frac{-4 + 18}{2} = 7, \quad t_2 = \frac{-4 - 18}{2} = -11 $$ Вернемся к переменной $x$: 1. При $t = 7$: $$ x - \frac{6}{x} = 7 $$ Умножим обе части на $x \neq 0$: $$ x^2 - 7x - 6 = 0 $$ $$ D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 49 + 24 = 73 $$ $$ x_{1, 2} = \frac{7 \pm \sqrt{73}}{2} $$ 2. При $t = -11$: $$ x - \frac{6}{x} = -11 $$ Умножим обе части на $x \neq 0$: $$ x^2 + 11x - 6 = 0 $$ $$ D = 11^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 121 + 24 = 145 $$ $$ x_{3, 4} = \frac{-11 \pm \sqrt{145}}{2} $$ **Ответ:** $\dfrac{7 \pm \sqrt{73}}{2}; \; \dfrac{-11 \pm \sqrt{145}}{2}$. --- **2)** $(x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 6) = 36x^2$ Сгруппируем множители так, чтобы произведения свободных членов были равны: $(-1) \cdot (-6) = 6$ и $(-2) \cdot (-3) = 6$. $$ ((x - 1)(x - 6)) \cdot ((x - 2)(x - 3)) = 36x^2 $$ Раскроем скобки в каждой паре: $$ (x^2 - 7x + 6)(x^2 - 5x + 6) = 36x^2 $$ Значение $x = 0$ не является корнем уравнения, так как $6 \cdot 6 = 36 \neq 0$. Разделим обе части уравнения на $x^2 \neq 0$: $$ \left(\frac{x^2 - 7x + 6}{x}\right)\left(\frac{x^2 - 5x + 6}{x}\right) = 36 $$ $$ \left(x + \frac{6}{x} - 7\right)\left(x + \frac{6}{x} - 5\right) = 36 $$ Введем новую переменную: пусть $t = x + \dfrac{6}{x}$. Получаем: $$ (t - 7)(t - 5) = 36 $$ $$ t^2 - 12t + 35 - 36 = 0 $$ $$ t^2 - 12t - 1 = 0 $$ Решим уравнение относительно $t$: $$ \frac{D}{4} = (-6)^2 - 1 \cdot (-1) = 36 + 1 = 37 $$ $$ t_{1, 2} = 6 \pm \sqrt{37} $$ Вернемся к переменной $x$: 1. При $t = 6 + \sqrt{37}$: $$ x + \frac{6}{x} = 6 + \sqrt{37} $$ $$ x^2 - (6 + \sqrt{37})x + 6 = 0 $$ $$ D = (6 + \sqrt{37})^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 36 + 12\sqrt{37} + 37 - 24 = 49 + 12\sqrt{37} $$ Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня: $$ x_{1, 2} = \frac{6 + \sqrt{37} \pm \sqrt{49 + 12\sqrt{37}}}{2} $$ 2. При $t = 6 - \sqrt{37}$: $$ x + \frac{6}{x} = 6 - \sqrt{37} $$ $$ x^2 - (6 - \sqrt{37})x + 6 = 0 $$ $$ D = (6 - \sqrt{37})^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 36 - 12\sqrt{37} + 37 - 24 = 49 - 12\sqrt{37} $$ Сравним $49$ и $12\sqrt{37}$: $49^2 = 2401$, а $(12\sqrt{37})^2 = 144 \cdot 37 = 5328$. Поскольку $2401 < 5328$, получаем $49 < 12\sqrt{37}$, следовательно, $D < 0$. Действительных корней в этом случае нет. **Ответ:** $\dfrac{6 + \sqrt{37} \pm \sqrt{49 + 12\sqrt{37}}}{2}$.