ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 818

**1)** Решим уравнение: $$ (x^2 - x - 2)^2 + (x^2 - x - 2)(x + 3) = 20(x + 3)^2 $$ Данное уравнение является однородным второй степени относительно выражений $u = x^2 - x - 2$ и $v = x + 3$: $$ u^2 + uv - 20v^2 = 0 $$ Проверим, может ли $x + 3$ равняться нулю: Если $x + 3 = 0$, то $x = -3$. Подставим $x = -3$ в исходное уравнение: $$ ((-3)^2 - (-3) - 2)^2 + 0 = 20 \cdot 0 $$ $$ (9 + 3 - 2)^2 = 0 \iff 100 = 0 \quad \text{— неверно.} $$ Следовательно, $x + 3 \neq 0$. Разделим обе части уравнения на $(x + 3)^2$: $$ \left(\frac{x^2 - x - 2}{x + 3}\right)^2 + \frac{x^2 - x - 2}{x + 3} - 20 = 0 $$ Пусть $t = \frac{x^2 - x - 2}{x + 3}$, тогда уравнение принимает вид: $$ t^2 + t - 20 = 0 $$ По теореме Виета: $t_1 = 4$, $t_2 = -5$. Вернемся к переменной $x$: 1. При $t = 4$: $$ \frac{x^2 - x - 2}{x + 3} = 4 $$ $$ x^2 - x - 2 = 4(x + 3) $$ $$ x^2 - x - 2 = 4x + 12 $$ $$ x^2 - 5x - 14 = 0 $$ По теореме Виета: $x_1 = -2$, $x_2 = 7$. 2. При $t = -5$: $$ \frac{x^2 - x - 2}{x + 3} = -5 $$ $$ x^2 - x - 2 = -5(x + 3) $$ $$ x^2 - x - 2 = -5x - 15 $$ $$ x^2 + 4x + 13 = 0 $$ Найдем дискриминант: $$ D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 13 = 16 - 52 = -36 < 0 $$ Уравнение не имеет действительных корней. **Ответ к пункту 1:** $-2$; $7$. --- **2)** Решим уравнение: $$ 4(x^2 - 4x + 1)^2 + 10(x - 2)^2 = 13(x^2 - 4x + 1)(x - 2) $$ Перенесем все члены уравнения в левую часть: $$ 4(x^2 - 4x + 1)^2 - 13(x^2 - 4x + 1)(x - 2) + 10(x - 2)^2 = 0 $$ Уравнение является однородным второй степени относительно выражений $u = x^2 - 4x + 1$ и $v = x - 2$: $$ 4u^2 - 13uv + 10v^2 = 0 $$ Проверим, может ли $x - 2$ равняться нулю: Если $x - 2 = 0$, то $x = 2$. Подставим $x = 2$ в уравнение: $$ 4(2^2 - 4 \cdot 2 + 1)^2 - 0 + 0 = 0 \iff 4(-3)^2 = 0 \iff 36 = 0 \quad \text{— неверно.} $$ Значит, $x - 2 \neq 0$. Разделим обе части уравнения на $(x - 2)^2$: $$ 4\left(\frac{x^2 - 4x + 1}{x - 2}\right)^2 - 13\left(\frac{x^2 - 4x + 1}{x - 2}\right) + 10 = 0 $$ Пусть $t = \frac{x^2 - 4x + 1}{x - 2}$, тогда получаем квадратное уравнение: $$ 4t^2 - 13t + 10 = 0 $$ Найдем корни: $$ D = (-13)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 10 = 169 - 160 = 9 = 3^2 $$ $$ t_1 = \frac{13 + 3}{2 \cdot 4} = \frac{16}{8} = 2 $$ $$ t_2 = \frac{13 - 3}{2 \cdot 4} = \frac{10}{8} = \frac{5}{4} $$ Вернемся к переменной $x$: 1. При $t = 2$: $$ \frac{x^2 - 4x + 1}{x - 2} = 2 $$ $$ x^2 - 4x + 1 = 2(x - 2) $$ $$ x^2 - 4x + 1 = 2x - 4 $$ $$ x^2 - 6x + 5 = 0 $$ По теореме Виета: $x_1 = 1$, $x_2 = 5$. 2. При $t = \frac{5}{4}$: $$ \frac{x^2 - 4x + 1}{x - 2} = \frac{5}{4} $$ $$ 4(x^2 - 4x + 1) = 5(x - 2) $$ $$ 4x^2 - 16x + 4 = 5x - 10 $$ $$ 4x^2 - 21x + 14 = 0 $$ Найдем дискриминант: $$ D = (-21)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 14 = 441 - 224 = 217 $$ $$ x_{3, 4} = \frac{21 \pm \sqrt{217}}{8} $$ Все найденные значения удовлетворяют условию $x \neq 2$. **Ответ к пункту 2:** $1$; $5$; $\frac{21 - \sqrt{217}}{8}$; $\frac{21 + \sqrt{217}}{8}$.