ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 815

**815.** **1)** $$ (2x + 1)(3x + 2)(6x + 1)(x + 1) = 210 $$ Сгруппируем множители попарно так, чтобы после раскрытия скобок коэффициенты при $x^2$ и $x$ совпали: $$ ((2x + 1)(3x + 2)) \cdot ((6x + 1)(x + 1)) = 210 $$ Раскроем скобки в каждой группе: $$ (6x^2 + 4x + 3x + 2)(6x^2 + 6x + x + 1) = 210 $$ $$ (6x^2 + 7x + 2)(6x^2 + 7x + 1) = 210 $$ Пусть $t = 6x^2 + 7x + 1$, тогда уравнение принимает вид: $$ (t + 1)t = 210 $$ $$ t^2 + t - 210 = 0 $$ Решим полученное квадратное уравнение: $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-210) = 1 + 840 = 841 = 29^2$. $$ t_1 = \frac{-1 + 29}{2} = 14, \quad t_2 = \frac{-1 - 29}{2} = -15 $$ Вернемся к переменной $x$: 1. При $t = 14$: $$ 6x^2 + 7x + 1 = 14 $$ $$ 6x^2 + 7x - 13 = 0 $$ $D = 7^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-13) = 49 + 312 = 361 = 19^2$. $$ x_1 = \frac{-7 + 19}{2 \cdot 6} = \frac{12}{12} = 1 $$ $$ x_2 = \frac{-7 - 19}{2 \cdot 6} = -\frac{26}{12} = -\frac{13}{6} = -2\frac{1}{6} $$ 2. При $t = -15$: $$ 6x^2 + 7x + 1 = -15 $$ $$ 6x^2 + 7x + 16 = 0 $$ $D = 7^2 - 4 \cdot 6 \cdot 16 = 49 - 384 = -335 < 0$. Так как дискриминант отрицателен, действительных корней нет. **Ответ:** $x_1 = -2\frac{1}{6}$, $x_2 = 1$. --- **2)** $$ (x + 1)(x + 2)(x - 2)(x - 3) = 10 $$ Сгруппируем множители так, чтобы сумма свободных членов в парах была одинаковой: $(1) + (-2) = -1$ и $(2) + (-3) = -1$. $$ ((x + 1)(x - 2)) \cdot ((x + 2)(x - 3)) = 10 $$ Раскроем скобки в каждой паре: $$ (x^2 - x - 2)(x^2 - x - 6) = 10 $$ Введем замену переменной $t = x^2 - x$: $$ (t - 2)(t - 6) = 10 $$ $$ t^2 - 8t + 12 = 10 $$ $$ t^2 - 8t + 2 = 0 $$ Решим квадратное уравнение относительно $t$: $\frac{D}{4} = (-4)^2 - 1 \cdot 2 = 16 - 2 = 14$. $$ t_{1, 2} = 4 \pm \sqrt{14} $$ Вернемся к переменной $x$: 1. При $t = 4 + \sqrt{14}$: $$ x^2 - x = 4 + \sqrt{14} $$ $$ x^2 - x - (4 + \sqrt{14}) = 0 $$ $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-(4 + \sqrt{14})) = 1 + 16 + 4\sqrt{14} = 17 + 4\sqrt{14} > 0$. $$ x_{1, 2} = \frac{1 \pm \sqrt{17 + 4\sqrt{14}}}{2} $$ 2. При $t = 4 - \sqrt{14}$: $$ x^2 - x = 4 - \sqrt{14} $$ $$ x^2 - x - (4 - \sqrt{14}) = 0 $$ $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-(4 - \sqrt{14})) = 1 + 16 - 4\sqrt{14} = 17 - 4\sqrt{14}$. Так как $4\sqrt{14} = \sqrt{224} < \sqrt{289} = 17$, то $D > 0$. $$ x_{3, 4} = \frac{1 \pm \sqrt{17 - 4\sqrt{14}}}{2} $$ **Ответ:** $x = \frac{1 \pm \sqrt{17 + 4\sqrt{14}}}{2}$, $x = \frac{1 \pm \sqrt{17 - 4\sqrt{14}}}{2}$.