ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 814

**1)** $$ x^3 - 3x^2 + x = 3 $$ Перенесём все слагаемые в левую часть уравнения: $$ x^3 - 3x^2 + x - 3 = 0 $$ Сгруппируем слагаемые для разложения на множители: $$ (x^3 - 3x^2) + (x - 3) = 0 $$ $$ x^2(x - 3) + 1 \cdot (x - 3) = 0 $$ $$ (x - 3)(x^2 + 1) = 0 $$ Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю: 1) $x - 3 = 0 \implies x = 3$; 2) $x^2 + 1 = 0 \implies x^2 = -1$ — действительных корней нет, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным. Ответ: $3$. --- **2)** $$ x^3 - 3x^2 - 4x + 12 = 0 $$ Разложим левую часть на множители методом группировки: $$ (x^3 - 3x^2) - (4x - 12) = 0 $$ $$ x^2(x - 3) - 4(x - 3) = 0 $$ $$ (x - 3)(x^2 - 4) = 0 $$ Применим формулу разности квадратов к выражению $x^2 - 4$: $$ (x - 3)(x - 2)(x + 2) = 0 $$ Отсюда получаем: $x - 3 = 0 \implies x_1 = 3$ $x - 2 = 0 \implies x_2 = 2$ $x + 2 = 0 \implies x_3 = -2$ Ответ: $-2;\; 2;\; 3$. --- **3)** $$ x^3 - 5x^2 + 8x - 6 = 0 $$ Найдём целый корень уравнения среди делителей свободного члена $-6$: $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$. Проверим $x = 3$: $$ 3^3 - 5 \cdot 3^2 + 8 \cdot 3 - 6 = 27 - 45 + 24 - 6 = 0 $$ Значит, $x = 3$ является корнем уравнения, а многочлен делится на $(x - 3)$. Разложим многочлен на множители: $$ x^3 - 3x^2 - 2x^2 + 6x + 2x - 6 = 0 $$ $$ x^2(x - 3) - 2x(x - 3) + 2(x - 3) = 0 $$ $$ (x - 3)(x^2 - 2x + 2) = 0 $$ Приравниваем каждый множитель к нулю: 1) $x - 3 = 0 \implies x = 3$; 2) $x^2 - 2x + 2 = 0$ Найдем дискриминант: $$ D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 - 8 = -4 < 0 $$ Так как $D < 0$, квадратное уравнение не имеет действительных корней. Ответ: $3$. --- **4)** $$ x^4 - 3x^3 - 2x^2 - 6x - 8 = 0 $$ Найдём целый корень среди делителей числа $-8$: $\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8$. Проверим $x = -1$: $$ (-1)^4 - 3(-1)^3 - 2(-1)^2 - 6(-1) - 8 = 1 + 3 - 2 + 6 - 8 = 0 $$ Следовательно, $x = -1$ — корень уравнения. Выделим множитель $(x + 1)$: $$ (x^4 + x^3) - (4x^3 + 4x^2) + (2x^2 + 2x) - (8x + 8) = 0 $$ $$ x^3(x + 1) - 4x^2(x + 1) + 2x(x + 1) - 8(x + 1) = 0 $$ $$ (x + 1)(x^3 - 4x^2 + 2x - 8) = 0 $$ Сгруппируем слагаемые во второй скобке: $$ x^3 - 4x^2 + 2x - 8 = x^2(x - 4) + 2(x - 4) = (x - 4)(x^2 + 2) $$ Таким образом, исходное уравнение принимает вид: $$ (x + 1)(x - 4)(x^2 + 2) = 0 $$ 1) $x + 1 = 0 \implies x_1 = -1$; 2) $x - 4 = 0 \implies x_2 = 4$; 3) $x^2 + 2 = 0 \implies x^2 = -2$ — действительных корней нет. Ответ: $-1;\; 4$. --- **5)** $$ x^5 + x^4 - 6x^3 - 14x^2 - 11x - 3 = 0 $$ Делители свободного члена $-3$: $\pm 1, \pm 3$. Проверим $x = -1$: $$ (-1)^5 + (-1)^4 - 6(-1)^3 - 14(-1)^2 - 11(-1) - 3 = -1 + 1 + 6 - 14 + 11 - 3 = 0 $$ Корень $x = -1$ найден. Выделим множитель $(x + 1)$: $$ (x^5 + x^4) - (6x^3 + 6x^2) - (8x^2 + 8x) - (3x + 3) = 0 $$ $$ (x + 1)(x^4 - 6x^2 - 8x - 3) = 0 $$ Для многочлена $x^4 - 6x^2 - 8x - 3$ проверим снова $x = -1$: $$ (-1)^4 - 6(-1)^2 - 8(-1) - 3 = 1 - 6 + 8 - 3 = 0 $$ Выделим множитель $(x + 1)$ ещё раз: $$ x^4 - 6x^2 - 8x - 3 = (x^4 + x^3) - (x^3 + x^2) - (5x^2 + 5x) - (3x + 3) = (x + 1)(x^3 - x^2 - 5x - 3) $$ Для многочлена $x^3 - x^2 - 5x - 3$ снова проверим $x = -1$: $$ (-1)^3 - (-1)^2 - 5(-1) - 3 = -1 - 1 + 5 - 3 = 0 $$ Выделим множитель $(x + 1)$: $$ x^3 - x^2 - 5x - 3 = (x^3 + x^2) - (2x^2 + 2x) - (3x + 3) = (x + 1)(x^2 - 2x - 3) $$ Разложим квадратный трёхчлен $x^2 - 2x - 3$: $$ x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1) $$ В итоге уравнение принимает вид: $$ (x + 1)^4 (x - 3) = 0 $$ Отсюда: $x + 1 = 0 \implies x_1 = -1$ $x - 3 = 0 \implies x_2 = 3$ Ответ: $-1;\; 3$. --- **6)** $$ 2x^4 - 2x^3 - 11x^2 - x - 6 = 0 $$ Возможные целые корни находятся среди делителей свободного члена $-6$: $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$. Проверим $x = -2$: $$ 2(-2)^4 - 2(-2)^3 - 11(-2)^2 - (-2) - 6 = 32 + 16 - 44 + 2 - 6 = 0 $$ Значит, $x = -2$ — корень уравнения. Разделим многочлен на $(x + 2)$ методом группировки: $$ (2x^4 + 4x^3) - (6x^3 + 12x^2) + (x^2 + 2x) - (3x + 6) = 0 $$ $$ 2x^3(x + 2) - 6x^2(x + 2) + x(x + 2) - 3(x + 2) = 0 $$ $$ (x + 2)(2x^3 - 6x^2 + x - 3) = 0 $$ Сгруппируем слагаемые во второй скобке: $$ 2x^3 - 6x^2 + x - 3 = 2x^2(x - 3) + 1 \cdot (x - 3) = (x - 3)(2x^2 + 1) $$ Получаем уравнение: $$ (x + 2)(x - 3)(2x^2 + 1) = 0 $$ Приравниваем множители к нулю: 1) $x + 2 = 0 \implies x_1 = -2$; 2) $x - 3 = 0 \implies x_2 = 3$; 3) $2x^2 + 1 = 0 \implies 2x^2 = -1$ — действительных корней нет, так как $2x^2 + 1 \ge 1 > 0$ при любых действительных $x$. Ответ: $-2;\; 3$.