ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 817

### 817 **1)** Решим уравнение: $$ (x^2 - 5x + 4)(x^2 + 9x + 18) = 100 $$ Разложим квадратные трехчлены в левой части уравнения на линейные множители: * Для $x^2 - 5x + 4$: по теореме Виета корни равны $1$ и $4$, значит, $x^2 - 5x + 4 = (x - 1)(x - 4)$. * Для $x^2 + 9x + 18$: по теореме Виета корни равны $-3$ и $-6$, значит, $x^2 + 9x + 18 = (x + 3)(x + 6)$. Подставим полученные разложения в уравнение: $$ (x - 1)(x - 4)(x + 3)(x + 6) = 100 $$ Сгруппируем множители так, чтобы суммы свободных слагаемых в скобках были равны: $(-1) + 3 = 2$ и $(-4) + 6 = 2$. $$ ((x - 1)(x + 3)) \cdot ((x - 4)(x + 6)) = 100 $$ $$ (x^2 + 2x - 3)(x^2 + 2x - 24) = 100 $$ Введем новую переменную: пусть $t = x^2 + 2x$. Тогда уравнение принимает вид: $$ (t - 3)(t - 24) = 100 $$ $$ t^2 - 27t + 72 = 100 $$ $$ t^2 - 27t - 28 = 0 $$ По теореме Виета находим корни: $$ t_1 = 28, \quad t_2 = -1 $$ Вернемся к переменной $x$: 1. При $t = 28$: $$ x^2 + 2x = 28 $$ $$ x^2 + 2x - 28 = 0 $$ Найдем корни через дискриминант: $D_1 = 1^2 - 1 \cdot (-28) = 1 + 28 = 29 > 0$. $$ x_{1, 2} = -1 \pm \sqrt{29} $$ 2. При $t = -1$: $$ x^2 + 2x = -1 $$ $$ x^2 + 2x + 1 = 0 $$ $$ (x + 1)^2 = 0 \implies x_3 = -1 $$ Ответ: $-1$; $-1 \pm \sqrt{29}$. --- **2)** Решим уравнение: $$ (x^2 - 3x + 2)(x^2 - 7x + 12) = 4 $$ Разложим квадратные трехчлены на множители: * Для $x^2 - 3x + 2$: корни равны $1$ и $2$, следовательно, $x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)$. * Для $x^2 - 7x + 12$: корни равны $3$ и $4$, следовательно, $x^2 - 7x + 12 = (x - 3)(x - 4)$. Подставим разложения в исходное уравнение: $$ (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) = 4 $$ Сгруппируем множители с равными суммами свободных членов: $(-1) + (-4) = -5$ и $(-2) + (-3) = -5$. $$ ((x - 1)(x - 4)) \cdot ((x - 2)(x - 3)) = 4 $$ $$ (x^2 - 5x + 4)(x^2 - 5x + 6) = 4 $$ Введем замену переменной: пусть $t = x^2 - 5x + 5$. Тогда $x^2 - 5x + 4 = t - 1$, а $x^2 - 5x + 6 = t + 1$. Уравнение примет вид: $$ (t - 1)(t + 1) = 4 $$ $$ t^2 - 1 = 4 $$ $$ t^2 = 5 \implies t = \pm\sqrt{5} $$ Вернемся к переменной $x$: 1. При $t = \sqrt{5}$: $$ x^2 - 5x + 5 = \sqrt{5} $$ $$ x^2 - 5x + (5 - \sqrt{5}) = 0 $$ Найдем дискриминант: $$ D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (5 - \sqrt{5}) = 25 - 20 + 4\sqrt{5} = 5 + 4\sqrt{5} $$ Так как $5 + 4\sqrt{5} > 0$, уравнение имеет два действительных корня: $$ x_{1, 2} = \frac{5 \pm \sqrt{5 + 4\sqrt{5}}}{2} $$ 2. При $t = -\sqrt{5}$: $$ x^2 - 5x + 5 = -\sqrt{5} $$ $$ x^2 - 5x + (5 + \sqrt{5}) = 0 $$ Найдем дискриминант: $$ D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (5 + \sqrt{5}) = 25 - 20 - 4\sqrt{5} = 5 - 4\sqrt{5} $$ Так как $\sqrt{5} > 2$, то $4\sqrt{5} > 8$, следовательно, $D = 5 - 4\sqrt{5} < 0$. Действительных корней нет. Ответ: $\frac{5 \pm \sqrt{5 + 4\sqrt{5}}}{2}$.