ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 819

1) Решим уравнение: $$ \frac{x^2 - x + 3}{x^2 - x + 1} + \frac{x^2 - x - 4}{x^2 - x + 2} = 5 $$ Найдём область допустимых значений (ОДЗ). Заметим, что знаменатели дробей: $x^2 - x + 1 = \left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4} > 0$ при всех $x \in \mathbb{R}$; $x^2 - x + 2 = \left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{7}{4} > 0$ при всех $x \in \mathbb{R}$. Следовательно, знаменатели не обращаются в ноль, и ОДЗ уравнения — множество всех действительных чисел: $x \in \mathbb{R}$. Выделим целую часть из каждой дроби: $$ \frac{(x^2 - x + 1) + 2}{x^2 - x + 1} + \frac{(x^2 - x + 2) - 6}{x^2 - x + 2} = 5 $$ $$ 1 + \frac{2}{x^2 - x + 1} + 1 - \frac{6}{x^2 - x + 2} = 5 $$ $$ \frac{2}{x^2 - x + 1} - \frac{6}{x^2 - x + 2} = 3 $$ Пусть $t = x^2 - x$. Перепишем уравнение относительно переменной $t$: $$ \frac{2}{t + 1} - \frac{6}{t + 2} = 3 $$ Приведём дроби в левой части к общему знаменателю: $$ \frac{2(t + 2) - 6(t + 1)}{(t + 1)(t + 2)} = 3 $$ $$ \frac{2t + 4 - 6t - 6}{t^2 + 3t + 2} = 3 $$ $$ \frac{-4t - 2}{t^2 + 3t + 2} = 3 $$ Так как знаменатель отличен от нуля, умножим обе части уравнения на $t^2 + 3t + 2$: $$ -4t - 2 = 3(t^2 + 3t + 2) $$ $$ -4t - 2 = 3t^2 + 9t + 6 $$ $$ 3t^2 + 13t + 8 = 0 $$ Найдём корни полученного квадратного уравнения: $D = 13^2 - 4 \cdot 3 \cdot 8 = 169 - 96 = 73$; $$ t_{1, 2} = \frac{-13 \pm \sqrt{73}}{6} $$ Вернёмся к замене $x^2 - x = t$, то есть: $$ x^2 - x - t = 0 $$ Данное квадратное уравнение имеет действительные корни тогда и только тогда, когда его дискриминант неотрицателен: $D_x = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-t) = 1 + 4t \ge 0$, откуда $t \ge -\frac{1}{4}$. Проверим найденные значения $t$: Для $t_1 = \frac{-13 + \sqrt{73}}{6}$: $$ 1 + 4t_1 = 1 + 4 \cdot \frac{-13 + \sqrt{73}}{6} = 1 + \frac{2(-13 + \sqrt{73})}{3} = \frac{2\sqrt{73} - 23}{3} $$ Так как $(2\sqrt{73})^2 = 4 \cdot 73 = 292$, а $23^2 = 529$, то $2\sqrt{73} < 23$, а значит, $2\sqrt{73} - 23 < 0$. Следовательно, $D_x < 0$. Для $t_2 = \frac{-13 - \sqrt{73}}{6}$: Так как $t_2 < t_1$, то $1 + 4t_2 < 1 + 4t_1 < 0$, следовательно, и в этом случае $D_x < 0$. Таким образом, ни при одном из найденных значений $t$ уравнение $x^2 - x = t$ не имеет действительных корней. Ответ: действительных корней нет. --- 2) Решим уравнение: $$ \frac{x^2 + x + 2}{x^2 + x + 1} + \frac{x^2 + x + 6}{x^2 + x + 3} = 4 $$ Найдём ОДЗ. Знаменатели дробей: $x^2 + x + 1 = \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4} > 0$ при всех $x \in \mathbb{R}$; $x^2 + x + 3 = \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{11}{4} > 0$ при всех $x \in \mathbb{R}$. Знаменатели не равны нулю при любых действительных $x$, поэтому ОДЗ: $x \in \mathbb{R}$. Выделим целую часть из каждой дроби: $$ \frac{(x^2 + x + 1) + 1}{x^2 + x + 1} + \frac{(x^2 + x + 3) + 3}{x^2 + x + 3} = 4 $$ $$ 1 + \frac{1}{x^2 + x + 1} + 1 + \frac{3}{x^2 + x + 3} = 4 $$ $$ \frac{1}{x^2 + x + 1} + \frac{3}{x^2 + x + 3} = 2 $$ Пусть $t = x^2 + x$. Подставим $t$ в уравнение: $$ \frac{1}{t + 1} + \frac{3}{t + 3} = 2 $$ Приведём дроби к общему знаменателю: $$ \frac{(t + 3) + 3(t + 1)}{(t + 1)(t + 3)} = 2 $$ $$ \frac{4t + 6}{t^2 + 4t + 3} = 2 $$ Разделим числитель и правую часть на 2: $$ \frac{2t + 3}{t^2 + 4t + 3} = 1 $$ Умножим обе части уравнения на знаменатель $t^2 + 4t + 3 \neq 0$: $$ 2t + 3 = t^2 + 4t + 3 $$ $$ t^2 + 2t = 0 $$ $$ t(t + 2) = 0 $$ Отсюда: $t_1 = 0$ или $t_2 = -2$. Выполним обратную замену: 1) При $t = 0$: $$ x^2 + x = 0 $$ $$ x(x + 1) = 0 $$ $$ x_1 = 0, \quad x_2 = -1 $$ 2) При $t = -2$: $$ x^2 + x = -2 $$ $$ x^2 + x + 2 = 0 $$ $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7 < 0$, действительных корней нет. Оба найденных значения $x_1 = -1$ и $x_2 = 0$ входят в ОДЗ. Ответ: $-1; \, 0$.