ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 813

**813.** Решим уравнение: $$ |x^2 - 8x + 5| = 2x $$ Так как левая часть уравнения содержит модуль, правая часть должна быть неотрицательной: $$ 2x \ge 0 \iff x \ge 0 $$ При условии $x \ge 0$ исходное уравнение с модулем равносильно совокупности двух уравнений: $$ \left[ \begin{aligned} &x^2 - 8x + 5 = 2x, \\ &x^2 - 8x + 5 = -2x. \end{aligned} \right. $$ Решим каждое уравнение по отдельности: 1) $x^2 - 8x + 5 = 2x$ Перенесём слагаемое $2x$ в левую часть: $$ x^2 - 10x + 5 = 0 $$ Найдём корни через дискриминант: $$ D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 100 - 20 = 80 $$ $$ x_{1,2} = \frac{10 \pm \sqrt{80}}{2} = \frac{10 \pm 4\sqrt{5}}{2} = 5 \pm 2\sqrt{5} $$ Так как $\sqrt{5} \approx 2{,}24$, то: $x_1 = 5 - 2\sqrt{5} > 0$ и $x_2 = 5 + 2\sqrt{5} > 0$. Оба корня удовлетворяют условию $x \ge 0$, однако числа $5 - 2\sqrt{5}$ и $5 + 2\sqrt{5}$ являются иррациональными. 2) $x^2 - 8x + 5 = -2x$ Перенесём слагаемое $-2x$ в левую часть: $$ x^2 - 6x + 5 = 0 $$ По теореме Виета: $$ \left\{ \begin{aligned} &x_3 + x_4 = 6, \\ &x_3 \cdot x_4 = 5. \end{aligned} \right. $$ Отсюда получаем корни: $$ x_3 = 1, \quad x_4 = 5 $$ Оба корня удовлетворяют условию $x \ge 0$ и являются рациональными числами. Среди найденных рациональных корней $x_3 = 1$ и $x_4 = 5$ наибольшим является $5$. Ответ: $5$.