ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 812

Дано уравнение: $$ |x^2 - 3x - 6| = 2x $$ Так как левая часть уравнения содержит модуль, она неотрицательна при любых допустимых значениях переменной, следовательно, правая часть также должна быть неотрицательной: $$ 2x \ge 0 \implies x \ge 0 $$ При условии $x \ge 0$ раскроем знак модуля. Исходное уравнение равносильно совокупности двух уравнений: $$ \left[ \begin{aligned} x^2 - 3x - 6 &= 2x \\ x^2 - 3x - 6 &= -2x \end{aligned} \right. $$ Решим каждое уравнение: 1) Первое уравнение: $$ x^2 - 3x - 6 = 2x $$ $$ x^2 - 5x - 6 = 0 $$ Найдем корни с помощью дискриминанта: $$ D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49 = 7^2 $$ $$ x_1 = \frac{5 + 7}{2} = 6 $$ $$ x_2 = \frac{5 - 7}{2} = -1 $$ 2) Второе уравнение: $$ x^2 - 3x - 6 = -2x $$ $$ x^2 - x - 6 = 0 $$ Найдем корни с помощью дискриминанта: $$ D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25 = 5^2 $$ $$ x_3 = \frac{1 + 5}{2} = 3 $$ $$ x_4 = \frac{1 - 5}{2} = -2 $$ С учетом условия $x \ge 0$: - Значения $x = -1$ и $x = -2$ являются посторонними корнями, так как не удовлетворяют условию неотрицательности правой части. - Значения $x = 3$ и $x = 6$ удовлетворяют условию $x \ge 0$ и являются корнями уравнения. Сравним найденные корни: $3 < 6$. Следовательно, наименьшим корнем уравнения является $3$. Ответ: $3$