ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 811

**811.** **1)** Решим уравнение: $$ |6 - 2x| = 3x + 1 $$ Так как левая часть уравнения неотрицательна при любых значениях $x$, правая часть также должна удовлетворять условию: $$ 3x + 1 \ge 0 \implies 3x \ge -1 \implies x \ge -\frac{1}{3} $$ При выполнении этого условия исходное уравнение равносильно совокупности двух уравнений: $$ 6 - 2x = 3x + 1 \quad \text{или} \quad 6 - 2x = -(3x + 1) $$ Решим первое уравнение: $$ -2x - 3x = 1 - 6 $$ $$ -5x = -5 $$ $$ x = 1 $$ Значение $x = 1$ удовлетворяет условию $x \ge -\frac{1}{3}$ ($1 \ge -\frac{1}{3}$ — истинно). Решим второе уравнение: $$ 6 - 2x = -3x - 1 $$ $$ -2x + 3x = -1 - 6 $$ $$ x = -7 $$ Значение $x = -7$ не удовлетворяет условию $x \ge -\frac{1}{3}$ (является посторонним корнем). Ответ: $x = 1$. --- **2)** Решим уравнение: $$ 2|x - 2| = |x| - 1 $$ Найдем нули подмодульных выражений: $x - 2 = 0 \implies x = 2$; $x = 0$. Точки $x = 0$ и $x = 2$ разбивают числовую прямую на три промежутка: $(-\infty; 0)$, $[0; 2)$ и $[2; +\infty)$. Рассмотрим уравнение на каждом из них. 1. Первый случай: $x < 0$. На этом интервале $x - 2 < 0$ и $x < 0$, поэтому модули раскрываются со сменой знаков: $$ 2(-(x - 2)) = -x - 1 $$ $$ 2(2 - x) = -x - 1 $$ $$ 4 - 2x = -x - 1 $$ $$ -x = -5 $$ $$ x = 5 $$ Полученное значение $x = 5$ не принадлежит рассматриваемому промежутку $x < 0$, значит, на этом промежутке корней нет. 2. Второй случай: $0 \le x < 2$. На этом полуинтервале $x - 2 < 0$, а $x \ge 0$: $$ 2(-(x - 2)) = x - 1 $$ $$ 4 - 2x = x - 1 $$ $$ -3x = -5 $$ $$ x = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} $$ Полученное значение принадлежит промежутку $[0; 2)$, так как $0 \le 1\frac{2}{3} < 2$. Следовательно, $x = 1\frac{2}{3}$ — корень уравнения. 3. Третий случай: $x \ge 2$. На этом луче оба подмодульных выражения неотрицательны ($x - 2 \ge 0$ и $x > 0$): $$ 2(x - 2) = x - 1 $$ $$ 2x - 4 = x - 1 $$ $$ x = 3 $$ Полученное значение принадлежит промежутку $[2; +\infty)$, так как $3 \ge 2$. Следовательно, $x = 3$ — корень уравнения. Ответ: $x = 1\frac{2}{3}$; $x = 3$.